Verifique se a aplicação
é linear, onde
Passo 1
O enunciado pede verificar se a aplicação
é linear. Em Álgebra Linear, uma transformação
é linear se satisfaz duas propriedades para todo
e todo escalar
:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Vamos checar cada uma.
Passo 2
Verificação da aditividade.
Sejam . Então
Sejam
Pela definição de
,
Agrupando termos:
Logo,
.
Passo 3
Verificação da homogeneidade.
Seja e
. Então
Seja
Fatorando
:
Portanto
.
Passo 4
Como
satisfaz aditividade e homogeneidade, ela é uma transformação linear. Em particular, podemos representá-la por multiplicação pela matriz de rotação
ou seja,
Resposta
Sim. A aplicação
é linear e pode ser escrita como