Verifique se a aplicação é linear, onde

Passo 1

O enunciado pede verificar se a aplicação
fcolon R^2toR^2, f(x,y)=l(xcostheta - ysintheta,;xsintheta + ycosthetar)
é linear. Em Álgebra Linear, uma transformação f é linear se satisfaz duas propriedades para todo (x1,y1),(x2,y2)inR^2 e todo escalar alphainR:
  1. Aditividade: fl((x1,y1)+(x2,y2)r)=f(x1,y1)+f(x2,y2)
  2. Homogeneidade: fl(alpha,(x,y)r)=alpha,f(x,y)
Vamos checar cada uma.

Passo 2

Verificação da aditividade.
Sejam (x1,y1),(x2,y2)inR^2. Então
fl((x1,y1)+(x2,y2)r)=f(x1+x2,;y1+y2)
Pela definição de f,
f(x1+x2,y1+y2)=l((x1+x2)costheta - (y1+y2)sintheta,,(x1+x2)sintheta + (y1+y2)costhetar)
Agrupando termos:
&l(x1costheta - y1sintheta,;x1sintheta + y1costhetar) &+;l(x2costheta - y2sintheta,;x2sintheta + y2costhetar) =f(x1,y1)+f(x2,y2)
Logo, fl((x1,y1)+(x2,y2)r)=f(x1,y1)+f(x2,y2).

Passo 3

Verificação da homogeneidade.
Seja alphainR e (x,y)inR^2. Então
fl(alpha,(x,y)r)=f(alpha x,alpha y) =l(alpha xcostheta - alpha ysintheta,;alpha xsintheta + alpha ycosthetar)
Fatorando alpha:
l(alpha(xcostheta - ysintheta),;alpha(xsintheta + ycostheta)r) =alpha,l(xcostheta - ysintheta,;xsintheta + ycosthetar) =alpha,f(x,y)
Portanto fl(alpha(x,y)r)=alpha,f(x,y).

Passo 4

Como satisfaz aditividade e homogeneidade, ela é uma transformação linear. Em particular, podemos representá-la por multiplicação pela matriz de rotação
ou seja,

Resposta

Sim. A aplicação é linear e pode ser escrita como

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