Sejam A uma matriz m times n e B uma matriz m times p. A afirmação falsa é:
a) A+B existe se, e somente se, n=p.
b) A=A^t implica m=n.
c) A B existe se, e somente se, n=p.
d) A B^t existe se, e somente se, n=p.
e) A^t B sempre existe.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz AinR^mtimes n e uma matriz BinR^mtimes p e pede para identificar qual das afirmações sobre existência de operações é falsa. O conteúdo aqui é o critério de dimensões para soma, transposição e multiplicação de matrizes.

Passo 2

Analisando a afirmação (a): “ A+B existe se, e somente se, n=p”.
Para somar A e B precisamos ter as mesmas dimensões:
AinR^mtimes n, BinR^mtimes p
exigem m=m (já ok) e n=p. Portanto (a) é verdadeira.

Passo 3

Analisando a afirmação (b): “ A=A^t implica m=n”.
Se A=A^t então A e A^t têm a mesma forma, mas A^tinR^ntimes m. Logo m=n. Portanto (b) é verdadeira.

Passo 4

Analisando a afirmação (c): “ A B existe se, e somente se, n=p”.
Para AB precisamos que o número de colunas de A (que é n) seja igual ao número de linhas de B (que é m). Logo a condição correta é n=m, não n=p. Portanto (c) é falsa.

Passo 5

Só resta conferir (d) e (e):
  • (d) AB^t existe iff n=p, pois B^tinR^ptimes m e exige n=p. Verdadeira.
  • (e) A^tB sempre existe, pois A^tinR^ntimes m e BinR^mtimes p, exigindo apenas m=m. Verdadeira.

Resposta

(c)

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