Seja T: R^2 R^2 o operador linear definido por T(x, y)=(3 x-y, 2 x), para todo (x, y) in R^2. Então, T^2018(0,1) é igual a
(A) (1-2^2018, 2-2^2018)
(B) (1,1-3^2018)
(C) (2^2019, 2-3^2018)
(D) (1-2^2018, 2^2019)
(E) (1-2^2019, 1-3^2018)

Passo 1

O enunciado dá um operador linear
T: R^2 to R^2
definido por
T(x,y) = (3x - y, ; 2x)
e pede
T^2018(0,1).
Conteúdo: potências de operador linear (ou matriz), gerando uma recorrência para as componentes do vetor.

Passo 2

Definimos
T^n(0,1) = (an,;bn)
Como T(x,y)=(3x-y,;2x), ao aplicarmos T em (an-1,bn-1) obtemos
(an,;bn) = T(an-1,bn-1) = l(3an-1-bn-1,;2an-1r)
Logo a recorrência é
an = 3an-1 - bn-1, bn = 2,an-1

Passo 3

A condição inicial vem de T^0= identidade, logo
(a0,b0) = T^0(0,1) = (0,1)

Passo 4

Vamos calcular (an,bn) para n=1,2,3,4 e buscar padrão:
n=1:; a1=3cdot0-1=-1,;b1=2cdot0=0;Rightarrow;(a1,b1)=(-1,0)
n=2:; a2=3(-1)-0=-3,;b2=2(-1)=-2;Rightarrow;(a2,b2)=(-3,-2)
n=3:; a3=3(-3)-(-2)=-7,;b3=2(-3)=-6;Rightarrow;(a3,b3)=(-7,-6)
n=4:; a4=3(-7)-(-6)=-15,;b4=2(-7)=-14;Rightarrow;(a4,b4)=(-15,-14)

Passo 5

Observamos que, para n>=1,
an = -(2^n -1), bn = -(2^n -2)
Podemos verificar por indução ou reconhecendo que (2^n-1,2^n-2) satisfaz a mesma recorrência em sinal trocado.

Passo 6

Para n=2018 obtemos
a2018 = -l(2^2018-1r) = 1-2^2018, b2018 = -l(2^2018-2r) = 2-2^2018
Portanto
T^2018(0,1) = l(1-2^2018,;2-2^2018r)

Resposta

(A) ,(1-2^2018,;2-2^2018)

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