A Transformada de Fourier de um sinal f(t) é definida como:
F(omega)=integral-infty^infty f(t) e^-i omega t d t
onde F(omega) é a representação do sinal no domínio da frequência, omega é a frequência angular e i é a unidade imaginária.
Considere um sistema de comunicação sem fio, onde um sinal modulado é transmitido. Discuta como a Transformada de Fourier pode ser usada para analisar a largura de banda do sinal e como isso afeta a qualidade da transmissão. Como as propriedades de linearidade da transformação ajudam na separação de sinais em diferentes frequências?

Passo 1

O enunciado pede para usar a Transformada de Fourier na análise da largura de banda de um sinal modulado em um sistema sem fio e mostrar como a linearidade da transformação ajuda a separar sinais em frequências distintas. Vamos precisar da definição
F(omega)=integral-infty^inftyf(t),e^-iomega t,dt
e dos conceitos de espectro e largura de banda.

Passo 2

Quando aplicamos a Transformada de Fourier a f(t), obtemos F(omega), que é a densidade espectral do sinal. Em vez de ver como f(t) varia no tempo, passamos a ver como sua energia se distribui em cada frequência angular omega. Esse espectro F(omega) revela picos ou faixas de frequência onde o sinal concentra a maior parte de sua energia.
A largura de banda do sinal é definida como a extensão de frequências em que F(omega) não é desprezível. Em geral, mede-se entre os pontos onde a magnitude lvert F(omega)rvert cai a -3,dB em relação ao pico. Essa largura determina quantos hertz (ou rad/s) aquele canal vai ocupar no espectro.

Passo 3

Do ponto de vista da qualidade de transmissão, um sinal com largura de banda maior pode transportar mais informação (maior taxa de bits), pois há mais “espaço” no espectro para codificar dados. Por outro lado, canais sem fio têm janelas de frequência limitadas e estão sujeitos a ruído e interferência. Se o sinal ultrapassar a banda disponível, parte dele será atenuada ou distorcida, degradando a qualidade.

Passo 4

A Transformada de Fourier é linear:
Ff1(t)+f2(t) =Ff1(t)+Ff2(t), Fa,f(t)=a,Ff(t)
Isso significa que, se vários sinais coexistem no tempo, no domínio da frequência eles aparecem somados e isolados em diferentes bandas. Dessa forma, basta projetar filtros passa-faixa centrados em cada componente para separar ou remover interferentes, o que é fundamental em multiplexação e na demodulação de sinais sem fio.

Resposta

A Transformada de Fourier fornece o espectro F(omega), cuja extensão define a largura de banda do sinal e indica quantos recursos espectrais ele ocupará e qual será a sua robustez contra ruído e interferência. Graças à propriedade de linearidade, diferentes componentes de sinais somados aparecem somados no espectro e podem ser filtrados ou demultiplexados com filtros adequados, permitindo a separação e recuperação de cada transmissão em frequências distintas.

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