A Transformada de Fourier de um sinal f(t) é definida como:
F(omega)=integral-infty^infty f(t) e^-i omega t d t
onde F(omega) é a representação do sinal no domínio da frequência, omega é a frequência angular e i é a unidade imaginária.
Explique como essa operação pode ser vista como uma transformação linear em um espaço vetorial. Como a matriz que representa essa transformação pode ser escrita em termos de senos e cossenos?

Passo 1

O enunciado nos dá a transformada de Fourier
F(omega)=integral-infty^inftyf(t),e^-iomega t,dt
e pede para ver isso como uma transformação linear em um espaço vetorial, além de escrever a “matriz” dessa transformação em termos de senos e cossenos.
Conteúdo usado: noções de espaços vetoriais (funções como vetores), operadores lineares e representação matricial via núcleos de integração.

Passo 2

Mostrar que a transformada de Fourier é linear. Sejam f e g dois sinais e a,b escalares. Então
Fa,f + b,g(omega) =integral-infty^inftyl(a,f(t)+b,g(t)r)e^-iomega t,dt =aintegral-infty^inftyf(t)e^-iomega t,dt +bintegral-infty^inftyg(t)e^-iomega t,dt =a,Ff(omega)+b,Fg(omega)
Isso prova a linearidade: Fa,f + b,g=a, Ff+b, Fg.

Passo 3

Interpretar a integral como produto de uma “matriz contínua” por um “vetor contínuo” :
Em álgebra linear discreta, uma transformação linear pode ser escrita como . Aqui é o elemento da matriz. No caso contínuo, vira o kernel .

Passo 4

Para visualizar uma matriz de verdade, discretizamos t nos pontos tn e omega nos pontos omegak. Supondo espaçamento De<a t, temos
Fk approx sumn fn,e^-iomegak tn,De<a t
Logo a matriz discretizada é
Akn =e^-iomegak tn,De<a t

Passo 5

Basta usar a identidade de Euler
e^-iomegak tn =cos(omegak tn)-i,sin(omegak tn)
Portanto o elemento Akn se escreve em termos de senos e cossenos:
Akn =De<a tl[cos(omegak tn)-i,sin(omegak tn)r]

Resposta

A transformada de Fourier é um operador linear em L^2 (o espaço de funções de energia finita) pois satisfaz Fa f+b g=a, Ff+b, Fg. Se discretizarmos, obtemos a matriz
Akn =e^-iomegak tn,De<a t =De<a tl[cos(omegak tn)-i,sin(omegak tn)r]

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