A Transformada de Fourier de um sinal
é definida como:
onde
é a representação do sinal no domínio da frequência,
é a frequência angular e
é a unidade imaginária.
Explique como essa operação pode ser vista como uma transformação linear em um espaço vetorial. Como a matriz que representa essa transformação pode ser escrita em termos de senos e cossenos?
Explique como essa operação pode ser vista como uma transformação linear em um espaço vetorial. Como a matriz que representa essa transformação pode ser escrita em termos de senos e cossenos?
Passo 1
O enunciado nos dá a transformada de Fourier
e pede para ver isso como uma transformação linear em um espaço vetorial, além de escrever a “matriz” dessa transformação em termos de senos e cossenos.
Conteúdo usado: noções de espaços vetoriais (funções como vetores), operadores lineares e representação matricial via núcleos de integração.
Conteúdo usado: noções de espaços vetoriais (funções como vetores), operadores lineares e representação matricial via núcleos de integração.
Passo 2
Mostrar que a transformada de Fourier é linear. Sejam
e
dois sinais e
escalares. Então
Isso prova a linearidade:
.
Passo 3
Interpretar a integral como produto de uma “matriz contínua” por um “vetor contínuo”
:
Em álgebra linear discreta, uma transformação linear pode ser escrita como
. Aqui
é o elemento da matriz. No caso contínuo,
vira o kernel
.
Passo 4
Para visualizar uma matriz de verdade, discretizamos
nos pontos
e
nos pontos
. Supondo espaçamento
, temos
Logo a matriz discretizada é
Passo 5
Basta usar a identidade de Euler
Portanto o elemento
se escreve em termos de senos e cossenos:
Resposta
A transformada de Fourier é um operador linear em
(o espaço de funções de energia finita) pois satisfaz
. Se discretizarmos, obtemos a matriz