Sejam A=(-2,3,1), B=(2,1,1), C=(0,0,-3), D=(10,-3,1), E=(-1,2,3) e F=(1,1,0) pontos do espaço.
a) Determine o ponto G tal que A C equiv D G.
b) Os pontos E, F e G são colineares? Justifique.
c) Determine:
(i) A E-E D+E B
(ii) A B+B C+C D+D E+E F+F A
(iii) 2(A F-2 F B+3 B A)-A B.

Passo 1

Temos os pontos
A=(-2,3,1),;B=(2,1,1),;C=(0,0,-3),;D=(10,-3,1),;E=(-1,2,3),;F=(1,1,0)
a) Pedem G tal que AC=DG.
b) Verificar se E,F,G são colineares, isto é, se EF e EG são múltiplos um do outro.
c) Calcular combinações de vetores usando PQ=Q-P:
(i) AE-ED+EB
(ii) AB+BC+CD+DE+EF+FA
(iii) 2(AF-2FB+3BA)-AB.

Passo 2

Calcule
AC=C-A=(0-(-2),,0-3,,-3-1)=(2,-3,-4)
Queremos DG=AC, logo
G=D+AC=(10,-3,1)+(2,-3,-4)=(12,-6,-3)

Passo 3

Calcule
EF=F-E=(1-(-1),,1-2,,0-3)=(2,-1,-3),
EG=G-E=(12-(-1),,-6-2,,-3-3)=(13,-8,-6)
As razões não coincidem ( 13/2neq8neq2), logo não são múltiplos. Portanto E,F,G não são colineares.

Passo 4

Para (i),
AE=E-A=(1,-1,2), ED=D-E=(11,-5,-2), EB=B-E=(3,-1,-2)
Logo
AE-ED+EB =(1,-1,2)-(11,-5,-2)+(3,-1,-2)=(-7,3,2)

Passo 5

Para (ii), note o “soma telescópica”
AB+BC+CD+DE+EF+FA =(B-A)+(C-B)+(D-C)+(E-D)+(F-E)+(A-F)= (0,0,0)

Passo 6

Para (iii),
AF=F-A=(3,-2,-1), FB=B-F=(1,0,1), BA=A-B=(-4,2,0),
AB=B-A=(4,-2,0)
Então
AF-2FB+3BA =(3,-2,-1)-2(1,0,1)+3(-4,2,0)=(-11,4,-3),
2(dots)-AB =2(-11,4,-3)-(4,-2,0)=(-22,8,-6)-(4,-2,0)=(-26,10,-6)

Resposta

a) (12,-6,-3)
b) Não são colineares.
c(i) (-7,3,2)
c(ii) (0,0,0)
c(iii) (-26,10,-6)

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