Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.
() Se A C=B C e C é inversível, então A=B.

Passo 1

O enunciado afirma que temos matrizes A, B e C adequadas para que o produto AC e BC faça sentido, satisfazendo
AC = BC
e que C é inversível. O conteúdo aqui é a propriedade de cancelamento na multiplicação de matrizes usando o inverso de C.

Passo 2

Como C é inversível, existe uma matriz C^-1 tal que
C,C^-1 = I
onde I é a matriz identidade. Agora, multiplico a equação AC=BC pela direita por C^-1 e uso a associatividade:
(AC)C^-1 = (BC)C^-1
pela associatividade das matrizes,
A,(C,C^-1) = B,(C,C^-1)

Passo 3

Substituindo C,C^-1=I na expressão anterior, obtemos
A,I = B,I
Como multiplicar pela identidade não altera a matriz, isto é, A,I = A e B,I = B, segue-se que
A = B

Resposta

A sentença é verdadeira.

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