Sejam T1: R^2 R^2 e T2: R^2 R^3 dadas por T1(x, y)=(3 x-y,-3 x+y) e T2(x, y)=(x+y, x, 2 y).
(d) Compare as matrizes [T2]B^C cdot[T1]B^C e[T2 circ T1]B^C. O que você observa?

Passo 1

O enunciado dá duas transformações lineares sobre a base canônica:
;T1colonR^2toR^2 com
T1(x,y)=(3x - y,,-3x + y)
e
;T2colonR^2toR^3 com
T2(x,y)=(x+y,;x,;2y)
Pede-se comparar o produto de matrizes l[T2r]B^Cl[T1r]B^B com a matriz l[T2circ T1r]B^C. O conteúdo é o fato de que multiplicação de matrizes corresponde à composição de transformações, e vamos calcular explicitamente ambas.

Passo 2

Calcular a matriz de T1 na base canônica B=e1,e2 de R^2.
Aplicamos
T1(1,0)=(3cdot1-0,,-3cdot1+0)=(3,-3), T1(0,1)=(3cdot0-1,,-3cdot0+1)=(-1,1)
Logo,
l[T1r]B^B = 3 & -1 -3& 1

Passo 3

Calcular a matriz de T2 vista como R^2toR^3 da base canônica B em R^2 para a base canônica C em R^3.
T2(1,0)=(1+0,,1,,0)=(1,1,0), T2(0,1)=(0+1,,0,,2)=(1,0,2)
Logo,
l[T2r]B^C = 1 & 1 1 & 0 0 & 2

Passo 4

Multiplicar essas matrizes para obter l[T2r]B^Cl[T1r]B^B:
1 & 1 1 & 0 0 & 2 3 & -1 -3& 1 = 1cdot3+1cdot(-3) & 1cdot(-1)+1cdot1 1cdot3+0cdot(-3)&1cdot(-1)+0cdot1 0cdot3+2cdot(-3)&0cdot(-1)+2cdot1 = 0 & 0 3 & -1 -6 & 2

Passo 5

Calcular diretamente T2circ T1. Para (x,y):
T1(x,y)=(3x-y,,-3x+y),
então
T2l(T1(x,y)r) =l((3x-y)+(-3x+y),;3x-y,;2(-3x+y)r) =(0,;3x-y,;-6x+2y)
A matriz dessa transformação é exatamente
l[T2circ T1r]B^C = 0 & 0 3 & -1 -6 & 2

Passo 6

Comparando os resultados, vemos que
l[T2r]B^Cl[T1r]B^B = l[T2circ T1r]B^C
Isso ilustra o princípio geral de que a multiplicação de matrizes corresponde à composição de transformações lineares, quando se usa consistência de bases.

Resposta

As duas matrizes coincidem:
l[T2r]B^Cl[T1r]B^B = l[T2circ T1r]B^C,
mostrando que multiplicar as matrizes de T1 e T2 dá a matriz da composição T2circ T1.

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