Suponha que o polinômio característico do operador linear T seja p(x)=x(x+2)^2(x-2)^3(x-3)^4. Responda justificando cada ítem
(b) T é inversível?

Passo 1

O enunciado dá o polinômio característico de T:
p(x)=x(x+2)^2(x-2)^3(x-3)^4
O conteúdo é teoria de autovalores e determinante: para decidir se T é inversível, precisamos verificar se 0 é autovalor ou, equivalentemente, se det Tneq0.

Passo 2

Lembrando que
  1. Os autovalores de T são as raízes de p(x).
  2. det T é, até sinal, o produto dos autovalores com multiplicidade, logo
det T = (-1)^dim Vp(0)
Portanto, T é inversível se e somente se p(0)neq0.

Passo 3

Como p(x) tem fator x, vale
p(0)=0cdot(0+2)^2(0-2)^3(0-3)^4=0
Logo det T=0, o que implica que T não é inversível (tem autovalor zero).

Resposta

T não é inversível.

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