Determine o polinômio minimal de e verifique se é diagonalizável. ( 2,0 pontos)
Passo 1
O enunciado pede o polinômio minimal de definido por
e que a partir dele decidamos se é diagonalizável. Vamos precisar representar numa matriz na base canônica, calcular o polinômio característico, estudar as multiplicidades algébrica e geométrica de cada autovalor e, finalmente, deduzir o polinômio minimal e a diagonalizabilidade.
Não há restrição em x, então um vetor-genérico é (x,t,-t). Logo o espaço próprio de lambda=1 tem dimensão 2, igual à sua multiplicidade algébrica.
Para lambda=3, a multiplicidade algébrica é 1, então a dimensão do espaço próprio é necessariamente 1.
Passo 5
Como cada autovalor tem espaço próprio de dimensão igual à sua multiplicidade algébrica, não há blocos de Jordan de tamanho maior que 1. Portanto o polinômio minimal é produto de fatores distintos
mT(lambda) = (lambda - 1)(lambda - 3)
Passo 6
O operador é diagonalizável exatamente quando o polinômio minimal se fatora em raízes simples, o que de fato ocorre. Assim T é diagonalizável.