Verifique se os vetores u=(1,2,3) ; v=(1,1,2) e w=(1,1,1) são Ll (linearmente independente) ou LD (linearmente dependente).

Passo 1

O enunciado fornece os vetores u=(1,2,3), v=(1,1,2) e w=(1,1,1) em R^3 e pede para determinar se eles são linearmente independentes (LI) ou linearmente dependentes (LD). Para isso, vamos usar o critério do determinante: três vetores em R^3 são LI se, e somente se, o determinante da matriz cujas colunas são esses vetores for diferente de zero.

Passo 2

Formamos a matriz cujas colunas são u, v e w:
A = 1 & 1 & 1 2 & 1 & 1 3 & 2 & 1
e calculamos det(A).

Passo 3

Calculamos o determinante pela regra de Sarrus ou expansão por cofatores:
det(A) =1cdotl|1 & 1 2 & 1r| -1cdotl|2 & 1 3 & 1r| +1cdotl|2 & 1 3 & 2r|
Cada menor vale
l|1 & 1 2 & 1r|=1cdot1-1cdot2=-1, l|2 & 1 3 & 1r|=2cdot1-1cdot3=-1, l|2 & 1 3 & 2r|=2cdot2-1cdot3=1
Logo,
det(A)=1cdot(-1)-1cdot(-1)+1cdot1=-1+1+1=1neq0

Passo 4

Como det(A)neq0, concluímos que os vetores u, v e w são linearmente independentes em R^3.

Resposta

Os vetores u, v e w são linearmente independentes (LI).

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