Seja T: R^3 R^3 um operador linear tal que T(x, y, z)=(x-y, x+2 y-z, y-z).
(a) Encontre [T]C^B, sendo B=(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1) e C=(1,0,1),(0,1,1),(0,0,1).

Passo 1

O enunciado dá um operador linear
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z) = (x - y,;x + 2y - z,;y - z),
e duas bases
B = b1 = (1,0,0),;b2 = (0,1,1),;b3 = (1,0,1), C = c1 = (1,0,1),;c2 = (0,1,1),;c3 = (0,0,1)
Queremos encontrar a matriz [T]C^B, cujas colunas são as coordenadas de T(bj) na base C.

Passo 2

Aplicamos T aos vetores de B:
T(b1) = T(1,0,0) = (1,1,0), T(b2) = T(0,1,1) = (-1,1,0), T(b3) = T(1,0,1) = (1,0,-1)

Passo 3

Para cada T(bj), escrevemos
alpha1c1 + alpha2c2 + alpha3c3 = (alpha1,;alpha2,;alpha1+alpha2+alpha3)
e igualamos a T(bj):
  1. Igualando a (1,1,0) obtemos
    alpha1=1, alpha2=1, 1+1+alpha3=0Rightarrow alpha3=-2.
  2. Igualando a (-1,1,0) obtemos
    alpha1=-1, alpha2=1, -1+1+alpha3=0Rightarrow alpha3=0.
  3. Igualando a (1,0,-1) obtemos
    alpha1=1, alpha2=0, 1+0+alpha3=-1Rightarrow alpha3=-2.

Passo 4

As colunas de [T]C^B são os vetores de coordenadas (alpha1,alpha2,alpha3) encontrados:
[T]C^B = 1 & -1 & 1 1 & 1 & 0 -2& 0 & -2

Resposta

[T]C^B = 1 & -1 & 1 1 & 1 & 0 -2& 0 & -2

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