Seja T: R^3 R^3 um operador linear tal que
T(x, y, z)=(-2 x, 3 z,-2 y)
(1,0 ponto) Determine o Nuc(T) e a Im(T).

Passo 1

O enunciado dá um operador linear
Tcolon R^3 to R^3, T(x,y,z)=(-2x,;3z,;-2y),
e pede (i) o núcleo Nuc(T) e (ii) a imagem Im(T). Vamos usar a definição de núcleo como o conjunto de vetores que vão em zero e a definição de imagem como o subespaço gerado pelas colunas (ou pelas imagens dos vetores da base canônica).

Passo 2

Para achar Nuc(T), resolvemos
T(x,y,z) = (0,0,0) Long<=ftrightarrow (-2x,;3z,;-2y) = (0,0,0)
Isso dá o sistema
-2x = 0, 3z = 0, -2y = 0
cuja única solução é
x=0, y=0, z=0
Logo
Nuc(T) = (0,0,0)

Passo 3

Para achar Im(T), observamos as imagens dos vetores da base canônica:
T(e1)=T(1,0,0)=(-2,0,0), T(e2)=T(0,1,0)=(0,0,-2), T(e3)=T(0,0,1)=(0,3,0)
Portanto
Im(T) = span(-2,0,0),,(0,0,-2),,(0,3,0)
Esses três vetores são linearmente independentes e cobrem os três eixos de R^3, de modo que
Im(T)=R^3

Resposta

Nuc(T)=(0,0,0)
Im(T)=R^3

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