Seja
um operador linear tal que
(1,0 ponto) Determine o
e a
.
Passo 1
O enunciado dá um operador linear
e pede (i) o núcleo
e (ii) a imagem
. Vamos usar a definição de núcleo como o conjunto de vetores que vão em zero e a definição de imagem como o subespaço gerado pelas colunas (ou pelas imagens dos vetores da base canônica).
Passo 2
Para achar
, resolvemos
Isso dá o sistema
cuja única solução é
Logo
Passo 3
Para achar
, observamos as imagens dos vetores da base canônica:
Portanto
Esses três vetores são linearmente independentes e cobrem os três eixos de
, de modo que