UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDÔNIA - UNIR Departamento Acadêmico de Matemática e Estatística
DAME - Campus Ji-Paraná
PRIMEIRA AVALIAÇÃO - Álgebra Linear 23 de outubro de 2024
NOTA:
8,0

Nome:

RA:

QUESTÕES

b) Definamos (x1, y1)+(x2, y2)=(x1+x2, y1+y2) e c(x1, y1)=(5 c x1, 5 c y1) com c in R. Mostre que todos os axiomas de espaço vetorial são satisfeitos, menos dois deles.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que V=R^2 com a adição definida por
;(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,;y1+y2)
e a multiplicação por escalar redefinida por
;c,(x,y)=(5c,x,;5c,y)
satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial, exceto dois.
O conteúdo aqui é verificar, um a um, os axiomas de espaço vetorial: os cinco relativos à adição e os três relativos à multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos os axiomas de adição, que são exatamente os do R^2 usual, pois a soma é padrão:
  1. Fechamento: (x1,y1)+(x2,y2)inR^2.
  2. Comutatividade: (x1,y1)+(x2,y2)=(x2,y2)+(x1,y1).
  3. Associatividade: l((x1,y1)+(x2,y2)r)+(x3,y3)=(x1,y1)+l((x2,y2)+(x3,y3)r).
  4. Existência de elemento neutro: (x,y)+(0,0)=(x,y).
  5. Existência de inverso aditivo: (x,y)+(-x,-y)=(0,0).
    Todos esses valem porque é a soma usual em R^2.

Passo 3

Agora checamos os dois axiomas de distributividade da multiplicação por escalar:
a) cl((x1,y1)+(x2,y2)r)=c,(x1+x2,;y1+y2)=(5c(x1+x2),,5c(y1+y2)).
Por outro lado
c,(x1,y1)+c,(x2,y2)=(5c,x1,5c,y1)+(5c,x2,5c,y2)=(5c(x1+x2),,5c(y1+y2))
Logo c(v+w)=cv+cw.
b) (c+d)(x,y)=(5(c+d)x,,5(c+d)y)=(5cx+5dx,,5cy+5dy)
e
c(x,y)+d(x,y)=(5c,x,5c,y)+(5d,x,5d,y)=(5cx+5dx,,5cy+5dy)
Então (c+d)v=cv+dv.
Portanto, as duas distributividades valem.

Passo 4

Restam os dois axiomas de compatibilidade e identidade de escalares:
i) Compatibilidade:
(c,d)(x,y)=(5(cd),x,,5(cd),y)=(5cd,x,,5cd,y),
enquanto
cl(d(x,y)r)=c,(5d,x,,5d,y)=(5ccdot(5d,x),,5ccdot(5d,y))=(25cd,x,,25cd,y)
Para geral 5cdneq25cd, logo
(cd)(x,y)neq cl(d(x,y)r).
ii) Elemento neutro escalar:
1,(x,y)=(5cdot1,x,,5cdot1,y)=(5x,,5y)neq(x,y)
em geral.
Ambos os axiomas falham.

Passo 5

Concluímos que todos os axiomas de espaço vetorial em V são satisfeitos, exceto:
  • a associatividade da multiplicação por escalares ;(cd)v=c(dv),
  • e a propriedade de elemento neutro ;1cdot v=v.

Resposta

Os dois axiomas que não se cumprem são:
(i) ;(cd)v=c(dv)
(ii) ;1cdot v=v

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