UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDÔNIA - UNIR Departamento Acadêmico de Matemática e Estatística
DAME - Campus Ji-Paraná
PRIMEIRA AVALIAÇÃO - Álgebra Linear 23 de outubro de 2024
NOTA:
8,0
Nome:
RA:
QUESTÕES
b) Definamos
e
. Mostre que todos os axiomas de espaço vetorial são satisfeitos, menos dois deles.
DAME - Campus Ji-Paraná
PRIMEIRA AVALIAÇÃO - Álgebra Linear 23 de outubro de 2024
NOTA:
8,0
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
com a adição definida por
e a multiplicação por escalar redefinida por
satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial, exceto dois.
O conteúdo aqui é verificar, um a um, os axiomas de espaço vetorial: os cinco relativos à adição e os três relativos à multiplicação por escalar.
e a multiplicação por escalar redefinida por
satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial, exceto dois.
O conteúdo aqui é verificar, um a um, os axiomas de espaço vetorial: os cinco relativos à adição e os três relativos à multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos os axiomas de adição, que são exatamente os do
usual, pois a soma é padrão:
- Fechamento:
. - Comutatividade:
. - Associatividade:
. - Existência de elemento neutro:
. - Existência de inverso aditivo:
.
Todos esses valem porque é a soma usual em.
Passo 3
Agora checamos os dois axiomas de distributividade da multiplicação por escalar:
a) .
Por outro lado
a)
Por outro lado
Logo
.
b)
e
b)
e
Então
.
Portanto, as duas distributividades valem.
Portanto, as duas distributividades valem.
Passo 4
Restam os dois axiomas de compatibilidade e identidade de escalares:
i) Compatibilidade:
i) Compatibilidade:
enquanto
Para geral
, logo
.
ii) Elemento neutro escalar:
ii) Elemento neutro escalar:
em geral.
Ambos os axiomas falham.
Ambos os axiomas falham.
Passo 5
Concluímos que todos os axiomas de espaço vetorial em
são satisfeitos, exceto:
- a associatividade da multiplicação por escalares
, - e a propriedade de elemento neutro
.
Resposta
Os dois axiomas que não se cumprem são:
(i)
(ii)
(i)
(ii)