UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDÔNIA - UNIR Departamento Acadêmico de Matemática e Estatística
DAME - Campus Ji-Paraná
PRIMEIRA AVALIAÇÃO - Álgebra Linear 23 de outubro de 2024
NOTA:
8,0

Nome:

RA:

QUESTÕES

b) Para quaisquer vetores u, v in R^n, prove a desigualdade abaixo (conhecida como desigualdade de Cauchy-Schwarz),
|lang<= u, vrang<=| <=|u||v|

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para quaisquer vetores u,vinR^n, vale a desigualdade de Cauchy–Schwarz
|lang<= u,vrang<=|<=|u|;|v|
Aqui vamos usar a definição de norma associada ao produto interno,
|w|=raizlang<= w,wrang<=,
e o fato de que o quadrado de uma norma é sempre não-negativo.

Passo 2

Primeiro tratamos o caso trivial: se v=0 então |v|=0 e lang<= u,vrang<==0, de modo que
|lang<= u,vrang<=|=0=|u|;0=|u|;|v|,
logo a desigualdade é verdadeira. A partir de agora supomos vneq0.

Passo 3

Considere a função real
f(t)=|,u - tv|^2,
onde tinR. Sabemos que f(t)>=0 para todo t, pois é o quadrado de uma norma.

Passo 4

Expandindo usando as propriedades do produto interno, temos
f(t) =lang<= u-tv,,u-tvrang<= =lang<= u,urang<= -2tlang<= u,vrang<= +t^2lang<= v,vrang<= =|u|^2 -2tlang<= u,vrang<= +t^2|v|^2
Isso é um polinômio de segundo grau em t que nunca desce abaixo de zero. Logo seu discriminante deve ser não-positivo:
De<a =l(-2lang<= u,vrang<=r)^2 -4|v|^2,|u|^2 =4lang<= u,vrang<=^2 -4|u|^2|v|^2 <=0

Passo 5

Da condição De<a<=0 segue
lang<= u,vrang<=^2<=|u|^2|v|^2 Longrightarrow |lang<= u,vrang<=|<=|u|;|v|

Resposta

Portanto, para quaisquer u,vinR^n vale
|lang<= u,vrang<=|<=|u|;|v|

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