UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDÔNIA - UNIR Departamento Acadêmico de Matemática e Estatística
DAME - Campus Ji-Paraná
PRIMEIRA AVALIAÇÃO - Álgebra Linear 23 de outubro de 2024
NOTA:
8,0
Nome:
RA:
QUESTÕES
b) Para quaisquer vetores
, prove a desigualdade abaixo (conhecida como desigualdade de Cauchy-Schwarz),
DAME - Campus Ji-Paraná
PRIMEIRA AVALIAÇÃO - Álgebra Linear 23 de outubro de 2024
NOTA:
8,0
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para quaisquer vetores
, vale a desigualdade de Cauchy–Schwarz
Aqui vamos usar a definição de norma associada ao produto interno,
,
e o fato de que o quadrado de uma norma é sempre não-negativo.
e o fato de que o quadrado de uma norma é sempre não-negativo.
Passo 2
Primeiro tratamos o caso trivial: se
então
e
, de modo que
logo a desigualdade é verdadeira. A partir de agora supomos
.
Passo 3
Considere a função real
onde
. Sabemos que
para todo
, pois é o quadrado de uma norma.
Passo 4
Expandindo usando as propriedades do produto interno, temos
Isso é um polinômio de segundo grau em
que nunca desce abaixo de zero. Logo seu discriminante deve ser não-positivo:
Passo 5
Da condição
segue
Resposta
Portanto, para quaisquer
vale