Seja
um operador linear tal que
( 0,5 ponto)
é injetora?
é sobrejetora?
é isomorfismo? Justifique suas respostas.
Passo 1
O enunciado dá um operador linear
e pede para verificar se
é injetora, sobrejetora e, consequentemente, isomorfismo.
Para isso, vamos usar as definições:
– é injetora se
.
– é sobrejetora se
.
– é isomorfismo se for simultaneamente injetora e sobrejetora.
Para isso, vamos usar as definições:
–
–
–
Passo 2
Para encontrar
, resolvemos
Dessas igualdades vem
Logo
, o que mostra que
é injetora.
Passo 3
Para o espaço imagem, basta ver as imagens dos vetores da base canônica
Esses três vetores são não nulos e mutuamente independentes em
, portanto
. Como o espaço-alvo também tem dimensão 3, temos
, ou seja,
é sobrejetora.
Passo 4
Já que
é injetora e sobrejetora simultaneamente, concluímos que
é um isomorfismo de
em
.