Seja T: R^3 R^3 um operador linear tal que
T(x, y, z)=(-2 x, 3 z,-2 y)
( 0,5 ponto) T é injetora? T é sobrejetora? T é isomorfismo? Justifique suas respostas.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear
Tcolon R^3toR^3, T(x,y,z)=(-2x,,3z,,-2y)
e pede para verificar se T é injetora, sobrejetora e, consequentemente, isomorfismo.
Para isso, vamos usar as definições:
T é injetora se ker T=0.
T é sobrejetora se ImT=R^3.
T é isomorfismo se for simultaneamente injetora e sobrejetora.

Passo 2

Para encontrar ker T, resolvemos
T(x,y,z)=(0,0,0);Long<=ftrightarrow;(-2x,,3z,,-2y)=(0,0,0)
Dessas igualdades vem
-2x=0implies x=0, 3z=0implies z=0, -2y=0implies y=0
Logo ker T=(0,0,0), o que mostra que T é injetora.

Passo 3

Para o espaço imagem, basta ver as imagens dos vetores da base canônica
T(e1)=T(1,0,0)=(-2,0,0), T(e2)=T(0,1,0)=(0,0,-2), T(e3)=T(0,0,1)=(0,3,0)
Esses três vetores são não nulos e mutuamente independentes em R^3, portanto dimImT=3. Como o espaço-alvo também tem dimensão 3, temos ImT=R^3, ou seja, T é sobrejetora.

Passo 4

Já que T é injetora e sobrejetora simultaneamente, concluímos que T é um isomorfismo de R^3 em R^3.

Resposta

T é injetora? Sim.
T é sobrejetora? Sim.
T é isomorfismo? Sim.

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