Utilize propriedades dos determinantes (e o problema 2 anterior, se necessário) para provar as seguintes propriedades do produto vetorial:
(g) u cdot(v times w)=(u times v) cdot w ( a identidade do produto misto)

Passo 1

O que queremos provar é a identidade do produto misto
ucdot(vtimesw) ;=; (utimesv)cdotw
O conteúdo que vamos usar é a interpretação do produto misto em termos de determinantes 3times 3 e a definição de produto vetorial como somatório de menores de ordem 2 (problema anterior).

Passo 2

Pela definição de vtimesw, temos
vtimesw =l(v2w3-v3w2,,-(v1w3-v3w1),,v1w2-v2w1r)
Fazendo o produto escalar com u=(u1,u2,u3),
ucdot(vtimesw) = u1(v2w3-v3w2) - u2(v1w3-v3w1) + u3(v1w2-v2w1)
Por inspeção, esse somatório é exatamente a expansão de Laplace (pela 1ª linha) do determinante
det u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3 w1 & w2 & w3
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ucdot(vtimesw) =det u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3 w1 & w2 & w3

Passo 3

Do mesmo modo, definindo utimesv pelos menores de segunda ordem,
utimesv =l(u2v3-u3v2,,-(u1v3-u3v1),,u1v2-u2v1r),
e fazendo o produto escalar com w=(w1,w2,w3), obtemos exatamente a mesma soma de termos que em ucdot(vtimesw). Novamente, é a expansão de Laplace (pela 3ª coluna, por exemplo) do mesmo determinante
det u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3 w1 & w2 & w3
Portanto
(utimesv)cdotw =det u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3 w1 & w2 & w3

Passo 4

Como ambos produtos mistos se reduzem ao mesmo determinante, concluímos
ucdot(vtimesw) =det u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3 w1 & w2 & w3 =(utimesv)cdotw

Resposta

ucdot(vtimesw)=(utimesv)cdotw

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