Utilize propriedades dos determinantes (e o problema 2 anterior, se necessário) para provar as seguintes propriedades do produto vetorial:
(g) a identidade do produto misto)
Passo 1
O que queremos provar é a identidade do produto misto
O conteúdo que vamos usar é a interpretação do produto misto em termos de determinantes e a definição de produto vetorial como somatório de menores de ordem (problema anterior).
Passo 2
Pela definição de , temos
Fazendo o produto escalar com ,
Por inspeção, esse somatório é exatamente a expansão de Laplace (pela ª linha) do determinante
Do mesmo modo, definindo utimesv pelos menores de segunda ordem,
utimesv =l(u2v3-u3v2,,-(u1v3-u3v1),,u1v2-u2v1r),
e fazendo o produto escalar com w=(w1,w2,w3), obtemos exatamente a mesma soma de termos que em ucdot(vtimesw). Novamente, é a expansão de Laplace (pela 3ª coluna, por exemplo) do mesmo determinante