Seja (A, \oplus, \odot) um anel com unidade. Denote por 0_{A} um elemento neutro de \oplus \mathrm{e} por 1_{A} um elemento neutro de \odot. Mostre que:
se b \in A também é elemento neutro em relação a \odot, então b=1_{A}. Em outras palavras, o elemento neutro de \odot é único;

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara.
  • Temos um conjunto A com duas operações \oplus e \odot formando um anel com unidade.
  • Denota-se por 0_{A} o elemento neutro de \oplus.
  • Denota-se por 1_{A} o elemento neutro de \odot. Ou seja, para todo x\in A vale 1_{A}\odot x = x = x\odot 1_{A}.
  • Supõe-se que existe b\in A que também é elemento neutro para \odot. Ou seja, para todo x\in A vale b\odot x = x = x\odot b.
O que precisamos mostrar: provar que b = 1_{A}. Em outras palavras, o elemento neutro de \odot é único.

Passo 2

Lembrete do que significa ser elemento neutro (identidade) para a operação \odot.
  • Um elemento e\in A é neutro para \odot quando, para todo x\in A, temos
e\odot x = x \quad\text{e}\quad x\odot e = x.
  • Aqui o símbolo \odot é a multiplicação do anel; as duas condições significam que e não altera nenhum elemento de A quando usado à esquerda ou à direita.
Vou usar esse fato de forma direta: se sabemos que um elemento é neutro, podemos substituir qualquer x pelas expressões que quisermos e a igualdade acima continua valendo.

Passo 3

Explícito as hipóteses que vou usar para provar a igualdade.
  • Sabemos que 1_{A} é neutro para \odot. Logo, para todo x\in A (em particular para x=b) vale
1_{A}\odot b = b \quad\text{e}\quad b\odot 1_{A} = b.
  • Sabemos que b é neutro para \odot. Logo, para todo x\in A (em particular para x=1_{A}) vale
b\odot 1_{A} = 1_{A} \quad\text{e}\quad 1_{A}\odot b = 1_{A}.
Repare que posso aplicar cada identidade escolhendo x igual ao outro candidato a identidade.

Passo 4

Use a propriedade de 1_{A} (ser neutro) aplicada ao elemento b.
  • Aplicando 1_{A}\odot x = x com x=b obtemos
1_{A}\odot b = b.
  • Aplicando x\odot 1_{A} = x com x=b obtemos
b\odot 1_{A} = b.
Qualquer uma das duas expressões mostra que multiplicar b por 1_{A} (à esquerda ou à direita) devolve b.

Passo 5

Use a propriedade de b (ser neutro) aplicada ao elemento 1_{A}.
  • Aplicando b\odot x = x com x=1_{A} obtemos
b\odot 1_{A} = 1_{A}.
  • Aplicando x\odot b = x com x=1_{A} obtemos
1_{A}\odot b = 1_{A}.
Ou seja, multiplicar 1_{A} por b (à esquerda ou à direita) devolve 1_{A}.

Passo 6

Combine as igualdades obtidas nos passos anteriores para concluir.
  • Do Passo 4 temos b = b\odot 1_{A}.
  • Do Passo 5 temos b\odot 1_{A} = 1_{A}.
  • Pela transitividade da igualdade segue
b = b\odot 1_{A} = 1_{A}.
Portanto b e 1_{A} são o mesmo elemento.

Passo 7

Observação didática e motivadora: a prova é curtinha — é só aplicar a definição de elemento neutro duas vezes — e mostra que identidade para uma operação binária (quando existe) é única. Esse argumento não usa propriedades específicas de anel além da existência de uma operação com identidade; vale para monóides em geral. Bom trabalho por chegar até aqui — você já pode aplicar esse raciocínio rápido em outras questões parecidas!

Resposta

b=1_{A}

Exercícios relacionados