Seja
um anel com unidade. Denote por
um elemento neutro de
por
um elemento neutro de
. Mostre que:
se
também é elemento neutro em relação a
, então
. Em outras palavras, o elemento neutro de
é único;
se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara.
- Temos um conjunto
com duas operações e formando um anel com unidade. - Denota-se por
o elemento neutro de . - Denota-se por
o elemento neutro de . Ou seja, para todo vale . - Supõe-se que existe
que também é elemento neutro para . Ou seja, para todo vale .
O que precisamos mostrar: provar que
. Em outras palavras, o elemento neutro de
é único.
Passo 2
Lembrete do que significa ser elemento neutro (identidade) para a operação
.
- Um elemento
é neutro para quando, para todo , temos
- Aqui o símbolo
é a multiplicação do anel; as duas condições significam que não altera nenhum elemento de quando usado à esquerda ou à direita.
Vou usar esse fato de forma direta: se sabemos que um elemento é neutro, podemos substituir qualquer
pelas expressões que quisermos e a igualdade acima continua valendo.
Passo 3
Explícito as hipóteses que vou usar para provar a igualdade.
- Sabemos que
é neutro para . Logo, para todo (em particular para ) vale
- Sabemos que
é neutro para . Logo, para todo (em particular para ) vale
Repare que posso aplicar cada identidade escolhendo
igual ao outro candidato a identidade.
Passo 4
Use a propriedade de
(ser neutro) aplicada ao elemento
.
- Aplicando
com obtemos
- Aplicando
com obtemos
Qualquer uma das duas expressões mostra que multiplicar
por
(à esquerda ou à direita) devolve
.
Passo 5
Use a propriedade de
(ser neutro) aplicada ao elemento
.
- Aplicando
com obtemos
- Aplicando
com obtemos
Ou seja, multiplicar
por
(à esquerda ou à direita) devolve
.
Passo 6
Combine as igualdades obtidas nos passos anteriores para concluir.
- Do Passo 4 temos
. - Do Passo 5 temos
. - Pela transitividade da igualdade segue
Portanto
e
são o mesmo elemento.
Passo 7
Observação didática e motivadora: a prova é curtinha — é só aplicar a definição de elemento neutro duas vezes — e mostra que identidade para uma operação binária (quando existe) é única. Esse argumento não usa propriedades específicas de anel além da existência de uma operação com identidade; vale para monóides em geral. Bom trabalho por chegar até aqui — você já pode aplicar esse raciocínio rápido em outras questões parecidas!