Seja P(\mathbb{R}) os espaço vetorial dos polinômios em \mathbb{R} com as operações usuais de soma e multiplicação por número real. Verifique quais das transformações a seguir são lineares.
T: P(\mathbb{R}) \rightarrow P(\mathbb{R}), T(p(x))=p(x+1)-p(0)

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial P(\mathbb{R}) dos polinômios reais e a transformação
T\colon P(\mathbb{R})\to P(\mathbb{R}),\quad T(p(x)) = p(x+1) - p(0).
Para mostrar que T é linear, precisamos verificar as propriedades de aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Aditividade: seja p,q\in P(\mathbb{R}). Então
T(p+q) = (p+q)(x+1) - (p+q)(0) = p(x+1) + q(x+1) - \bigl(p(0) + q(0)\bigr) = \bigl(p(x+1)-p(0)\bigr) + \bigl(q(x+1)-q(0)\bigr) = T(p) + T(q).

Passo 3

Homogeneidade: seja \alpha\in\mathbb{R} e p\in P(\mathbb{R}). Então
T(\alpha p) = (\alpha p)(x+1) - (\alpha p)(0) = \alpha\,p(x+1) - \alpha\,p(0) = \alpha\bigl(p(x+1)-p(0)\bigr) = \alpha\,T(p).

Passo 4

Como T preserva soma e multiplicação por escalar para todos os polinômios e escalares, concluímos que T é uma transformação linear.

Resposta

T é linear.

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