Seja P=(x, y, z) in R^3 / x=z^2. Mostre que P não é um subespaço vetorial do R^3.

Passo 1

O enunciado define
P = (x,y,z)inR^3 mid x = z^2
e pede para mostrar que P não é um subespaço vetorial de R^3.
Para isso, lembramos que um subconjunto WsubseteqR^3 é subespaço vetorial se, e somente se, satisfaz três propriedades:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob soma de vetores.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,0) está em P. Como x=0 e z=0, temos
0 = 0^2,
logo (0,0,0)in P.

Passo 3

Agora testamos a fechamento sob multiplicação por escalar. Seja
v = (1,0,1)
Como 1 = 1^2, temos vin P. Escolhemos o escalar alpha = -1 e calculamos
alpha,v = (-1,0,-1)

Passo 4

Para que alpha,v in P seria preciso que sua primeira componente satisfaça (primeira componente) = (terceira componente)^2. Aqui a primeira componente é -1 e a terceira é -1, mas
(-1)^2 = 1 neq -1
Portanto alpha,vnotin P, ou seja, P não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

P não é um subespaço vetorial de R^3.

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