Seja
. Mostre que
não é um subespaço vetorial do
.
Passo 1
O enunciado define
e pede para mostrar que
não é um subespaço vetorial de
.
Para isso, lembramos que um subconjunto é subespaço vetorial se, e somente se, satisfaz três propriedades:
Para isso, lembramos que um subconjunto
- Contém o vetor zero.
- É fechado sob soma de vetores.
- É fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos se o vetor zero
está em
. Como
e
, temos
logo
.
Passo 3
Agora testamos a fechamento sob multiplicação por escalar. Seja
Como
, temos
. Escolhemos o escalar
e calculamos
Passo 4
Para que
seria preciso que sua primeira componente satisfaça
. Aqui a primeira componente é
e a terceira é
, mas
Portanto
, ou seja,
não é fechado sob multiplicação por escalar.