Seja
uma sentença aberta sobre
, e seja
. Suponha que:
i.
é verdadeira, e
ii. qualquer que seja
, com
, sempre que
for verdadeira, segue-se que
é verdadeira.
Então,
é verdadeira para todo número natural
.
Use a técnica de demonstração apresentada no item (a) e prove que
, para todo
com
.
i.
ii. qualquer que seja
Então,
Use a técnica de demonstração apresentada no item (a) e prove que
Passo 1
Beleza, vamos recapitular a parada. A questão quer que a gente use indução (esse esquema que diz “se P(a) é verdade e P(n) ⇒ P(n+1), então P(n) vale pra todo n≥a”) para provar que
P(n): “ ”
é verdade para todo com
.
O que precisamos saber:
P(n): “
é verdade para todo
O que precisamos saber:
- Definição de fatorial:
. - Propriedade de potências:
. - Esquema de indução: base (checar o caso inicial) + passo indutivo (assumir P(n) e provar P(n+1)).
Passo 2
Base da indução (
).
Calcular:
Calcular:
Logo,
.
Então P(4) é verdadeira.
Então P(4) é verdadeira.
Passo 3
Hipótese indutiva.
Suponha que para algum valha P(k), ou seja:
Suponha que para algum
Passo 4
Passo indutivo: provar P(k+1).
Começamos com a definição de fatorial:
Começamos com a definição de fatorial:
Pela hipótese indutiva
, então
Agora, como
temos
, e aí
. Multiplicando
por um número maior que 2, a gente obtém algo maior que
. Ou seja,
Juntando tudo:
que é exatamente P(k+1).
Resposta
Pela base
e pelo passo indutivo, concluímos por indução que
para todo
com
.