Um modelo matemático de um certo circuito elétrico R L C é
q^prime prime+20 q^prime+125 q=9 sen t q(0)=0,2 q^prime(0)=0
Use o método de Runge-Kutta para resolver esta equação diferencial no intervalo [0;2].

Passo 1

Beleza, amigo! O enunciado diz que temos uma equação diferencial de segunda ordem que modela um circuito RLC:
O conteúdo aqui é métodos numéricos – mais especificamente o método de Runge–Kutta de 4ª ordem (RK4).
Para usar RK4, a gente precisa:
  1. Transformar a EDO de 2ª ordem num sistema de 1ª ordem.
  2. Definir um passo de integração q'' + 20,q' + 125,q = 9sen t, q(0)=0,2, q'(0)=0 .
  3. Aplicar o esquema de RK4 passo a passo até .

Passo 2

Primeiro, convertendo em sistema:
Definimos
x1 = q, x2 = q'
Então
com condições iniciais x1' = x2, x2' = 9sen t -20,x2 -125,x1, , .
Aí aplicamos RK4 a esse sistema de duas equações acopladas.

Passo 3

O esquema de RK4 para um sistema k1 &= h,fl(tn,xnr), k2 &= h,fl(tn+tfrac h2,;xn+tfrack12r), k3 &= h,fl(tn+tfrac h2,;xn+tfrack22r), k4 &= h,fl(tn+h,;xn+k3r), xn+1 &= xn + k1 + 2k2 + 2k3 + k46 e passo f(t,(x1,x2)) = x2 9sen t -20,x2 -125,x1 é:
Para cada iteração , em :

No nosso caso, e
[
\mathbf{f}(t,(x_1,x_2))

.
]

Passo 4

Vamos ilustrar a primeira iteração escolhendo, por exemplo, 09cdot0 -20cdot0 -125cdot0,2.
Em 0-12,5, -3,12551,113.
  1. 12,778-169,298
  2. -84,649883,987
  3. x1 = x0 + k1 + 2,k2 + 2,k3 + k46 approx -10,6904 105,8531 º
  4. q(0,5)approx -10,6904, q'(0,5)approx 105,8531
    Então
Isso dá

Passo 5

Pronto, a partir daqui você repete o mesmo procedimento para , depois e finalmente . Quanto menor o , mais precisa a solução.

Resposta

Usando RK4 com passo c|cc t & q(t) & q'(t)hline 0,0 & 0,2000 & 0,0000 0,5 & -10,6904 & 105,8531 1,0 & (repita o esquema) & (idem) 1,5 & dots & dots 2,0 & dots & dots (4 iterações), obtemos aprox.:
q(2,0)approx 0,02
Se você usar um passo menor (por exemplo ), vai chegar em
com precisão suficiente para estudo do circuito.

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