Um modelo matemático de um certo circuito elétrico
é
Use o método de Runge-Kutta para resolver esta equação diferencial no intervalo [0;2].
Passo 1
Beleza, amigo! O enunciado diz que temos uma equação diferencial de segunda ordem que modela um circuito RLC:
O conteúdo aqui é métodos numéricos – mais especificamente o método de Runge–Kutta de 4ª ordem (RK4).
Para usar RK4, a gente precisa:
Para usar RK4, a gente precisa:
- Transformar a EDO de 2ª ordem num sistema de 1ª ordem.
- Definir um passo de integração
. - Aplicar o esquema de RK4 passo a passo até
.
Passo 2
Primeiro, convertendo em sistema:
Definimos
Definimos
Então
com condições iniciais
,
.
Aí aplicamos RK4 a esse sistema de duas equações acopladas.
Aí aplicamos RK4 a esse sistema de duas equações acopladas.
Passo 3
O esquema de RK4 para um sistema
e passo
é:
Para cada iteração
, em
:
No nosso caso,
e
[
\mathbf{f}(t,(x_1,x_2))
.
]
]
Passo 4
Vamos ilustrar a primeira iteração escolhendo, por exemplo,
.
Em ,
.
Em
-
-
-
-
Então
Isso dá
Passo 5
Pronto, a partir daqui você repete o mesmo procedimento para
, depois
e finalmente
. Quanto menor o
, mais precisa a solução.
Resposta
Usando RK4 com passo
(4 iterações), obtemos aprox.:
Se você usar um passo menor (por exemplo
), vai chegar em
com precisão suficiente para estudo do circuito.