Enuncie o princípio de indução finita.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra “Enunciar o princípio de indução finita”. Isso é da matéria de técnicas de demonstração em Matemática (mais especificamente prova por indução em conjuntos finitos, como os naturais). A gente vai precisar entender o que é um caso base, o passo indutivo e como juntar as duas coisas pra concluir que uma propriedade vale pra todo número natural.
Passo 2
Antes de mais nada, a gente precisa definir:
- Seja
uma propriedade que depende de um número natural . - Os números naturais vamos anotar por
(ou seja lá onde você comece).
Resumindo: pra usar indução, você precisa de
- Um caso base: mostrar que
(ou , dependendo do que “começa” o seu conjunto) é verdadeira. - Um passo indutivo: assumir que
é verdadeira e, a partir daí, provar que também é verdadeira.
Passo 3
Agora vamos falar do porquê desses dois pedaços:
- Caso base: sem ele, não temos o “pontapé inicial”. É como começar uma corrida do zero: se você não mostrar que dá pra dar o primeiro passo, não adianta provar que “se você der um passo, já consegue dar o próximo”.
- Passo indutivo: a ideia é tipo um dominó. Você mostra que se uma peça
cai ( é verdadeira), então a próxima peça também cai ( é verdadeira). Assim, empilhando, todas as peças seguintes vão cair.
Passo 4
Juntando os dois:
- Base:
é verdadeira. - Indução: Para todo
, se é verdadeira então é verdadeira.
Conclusão: daí, pela “propagação” tipo dominó,vale para todo .
Resposta
Princípio da indução finita (ou matemática):
Seja uma propriedade indexada por
. Se valem simultaneamente:
Seja
-
é verdadeira. - Para todo
, .
Entãoé verdadeira para todo .