Enuncie o princípio de indução finita.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra “Enunciar o princípio de indução finita”. Isso é da matéria de técnicas de demonstração em Matemática (mais especificamente prova por indução em conjuntos finitos, como os naturais). A gente vai precisar entender o que é um caso base, o passo indutivo e como juntar as duas coisas pra concluir que uma propriedade vale pra todo número natural.

Passo 2

Antes de mais nada, a gente precisa definir:
  • Seja uma propriedade que depende de um número natural .
  • Os números naturais vamos anotar por (ou seja lá onde você comece).
    Resumindo: pra usar indução, você precisa de
  1. Um caso base: mostrar que (ou , dependendo do que “começa” o seu conjunto) é verdadeira.
  2. Um passo indutivo: assumir que é verdadeira e, a partir daí, provar que também é verdadeira.

Passo 3

Agora vamos falar do porquê desses dois pedaços:
  1. Caso base: sem ele, não temos o “pontapé inicial”. É como começar uma corrida do zero: se você não mostrar que dá pra dar o primeiro passo, não adianta provar que “se você der um passo, já consegue dar o próximo”.
  2. Passo indutivo: a ideia é tipo um dominó. Você mostra que se uma peça cai ( é verdadeira), então a próxima peça também cai ( é verdadeira). Assim, empilhando, todas as peças seguintes vão cair.

Passo 4

Juntando os dois:
  • Base: é verdadeira.
  • Indução: Para todo , se é verdadeira então é verdadeira.
    Conclusão: daí, pela “propagação” tipo dominó, vale para todo .

Resposta

Princípio da indução finita (ou matemática):
Seja uma propriedade indexada por . Se valem simultaneamente:
  1. é verdadeira.
  2. Para todo , .
    Então é verdadeira para todo .

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