Seja p um número primo. Prove que \binom{2 p}{p}-2 é divisível por p.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dado um primo p, a diferença
\binom{2p}{p} - 2
é múltipla de p.
O conteúdo principal aqui é análise de divisibilidade em coeficientes binomiais, usando o fato de que, quando um primo divide o numerador de \binom{n}{k} mas não o denominador, então ele divide todo o coeficiente. Também vamos usar o Teorema de Fermat para simplificar uma soma de binomiais.

Passo 2

Mostramos que, para 1 \le k \le 2p-1 com k\neq p, vale
\binom{2p}{k}\equiv 0\pmod p.
De fato,
\binom{2p}{k} =\frac{2p\,(2p-1)\,(2p-2)\cdots(2p-k+1)}{k!}.
Como k<p ou k>p e k\neq p, o fatorial k! não contém fator p, mas o numerador tem o fator 2p. Logo p divide o numerador e não divide o denominador, implicando
p\mid \binom{2p}{k}.

Passo 3

Usamos a soma dos binomiais e o Teorema do Binômio:
\sum_{k=0}^{2p}\binom{2p}{k} =2^{2p}.
Separando os três termos que não são múltiplos de p (isto é, k=0, k=p, k=2p) e lembrando que \binom{2p}{0}=\binom{2p}{2p}=1, obtemos, módulo p,
1 + \binom{2p}{p} + 1 \equiv 2^{2p}\pmod p.
Por Fermat, 2^{p}\equiv 2\pmod p, então
2^{2p} = \bigl(2^p\bigr)^2 \equiv 2^2 = 4\pmod p.
Logo
2 + \binom{2p}{p} \equiv 4\pmod p \quad\Longrightarrow\quad \binom{2p}{p}\equiv 2\pmod p.

Resposta

Como \binom{2p}{p}\equiv 2\pmod p, concluímos que
p \;\bigm|\;\bigl(\binom{2p}{p}-2\bigr).

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