Seja
um número primo. Prove que
é divisível por
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, dado um primo
, a diferença
é múltipla de
.
O conteúdo principal aqui é análise de divisibilidade em coeficientes binomiais, usando o fato de que, quando um primo divide o numerador de mas não o denominador, então ele divide todo o coeficiente. Também vamos usar o Teorema de Fermat para simplificar uma soma de binomiais.
O conteúdo principal aqui é análise de divisibilidade em coeficientes binomiais, usando o fato de que, quando um primo divide o numerador de
Passo 2
Mostramos que, para
com
, vale
De fato,
Como
ou
e
, o fatorial
não contém fator
, mas o numerador tem o fator
. Logo
divide o numerador e não divide o denominador, implicando
Passo 3
Usamos a soma dos binomiais e o Teorema do Binômio:
Separando os três termos que não são múltiplos de
(isto é,
,
,
) e lembrando que
, obtemos, módulo
,
Por Fermat,
, então
Logo
Resposta
Como
, concluímos que