Seja
um número primo da forma
. Sejam
inteiros tais que
é divisível por
. Prove que
são divisíveis por
.
Passo 1
O enunciado diz que
é primo congruente a
(ou seja,
) e que
. Queremos mostrar que isso força
e
. O conteúdo usado será teoria de resíduos quadráticos em
e, em particular, o critério de Euler para
.
Passo 2
Suponha, por absurdo, que
não divide nem
nem
. Então em
ambas as classes
e
são invertíveis, e da hipótese
segue
Isto mostra que
seria um quadrado em
. Mas o critério de Euler afirma que, para primo ímpar
,
onde
se e somente se
for um quadrado. Como
faz
ímpar, temos
logo
. Contradição com a conclusão de que
seria quadrado.
Passo 3
Da contradição concluímos que não é possível ter simultaneamente
e
. Assim,
divide pelo menos um deles. Sem perda de generalidade, suponha
. Então da condição
vem
, ou seja,
. Portanto
divide
e
.
Resposta
Ficou demonstrado que, se
divide
, então necessariamente
e
.