Prove que existe uma potência de 3 cuja representação decimal termina em \underbrace{0 \ldots 01}_{2023 \text { algarismos } 0}.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que existe um inteiro k tal que a potência 3^k termina, em base decimal, com 2023 zeros seguidos de um dígito 1. Isso equivale a exigir
3^k \equiv 1 \pmod{10^{2024}},
pois um número congruente a 1 módulo 10^{2024} tem exatamente seus últimos 2024 dígitos iguais a “000…001” (2023 zeros e, por fim, o dígito 1). Como \gcd(3,10)=1, podemos aplicar o Teorema de Euler.
Passo 2
Calculamos a função totiente de Euler em 10^{2024}. Sabemos que