Prove que existe uma potência de 3 cuja representação decimal termina em \underbrace{0 \ldots 01}_{2023 \text { algarismos } 0}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que existe um inteiro k tal que a potência 3^k termina, em base decimal, com 2023 zeros seguidos de um dígito 1. Isso equivale a exigir
3^k \equiv 1 \pmod{10^{2024}},
pois um número congruente a 1 módulo 10^{2024} tem exatamente seus últimos 2024 dígitos iguais a “000…001” (2023 zeros e, por fim, o dígito 1). Como \gcd(3,10)=1, podemos aplicar o Teorema de Euler.

Passo 2

Calculamos a função totiente de Euler em 10^{2024}. Sabemos que
10^{2024}=2^{2024}\cdot5^{2024}
e que
\varphi(2^{2024})=2^{2023}, \qquad \varphi(5^{2024})=4\cdot5^{2023}.
Como \varphi é multiplicativa em fatores primos distintos,
\varphi(10^{2024}) =\varphi(2^{2024})\;\varphi(5^{2024}) =2^{2023}\;\bigl(4\cdot5^{2023}\bigr) =4\cdot\bigl(2^{2023}5^{2023}\bigr) =4\cdot10^{2023}.

Passo 3

Pelo Teorema de Euler, para todo inteiro a coprimo com m vale
a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod m.
Aqui a=3 e m=10^{2024}, logo
3^{\varphi(10^{2024})} =3^{4\cdot10^{2023}} \equiv 1 \pmod{10^{2024}}.
Portanto, bastar tomar
k = 4\cdot10^{2023}
para garantir que 3^k tem representação decimal terminando em “000…001” com 2023 zeros.

Resposta

Basta escolher k = 4\cdot10^{2023}. Então
3^k = 3^{4\cdot10^{2023}} \equiv 1 \pmod{10^{2024}}
e sua escrita decimal termina em 2023 zeros seguidos de um 1.

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