Verifique se as transformações abaixo são lineares:
, onde .

Passo 1

O exercício pede para verificar se a transformação F: R^3 to R^3, dada por F(x,y,z) = (3x, a, 5z), é linear. O conteúdo envolve a definição de transformação linear e as propriedades de aditividade, homogeneidade e imagem do vetor nulo.

Passo 2

Para testar a imagem do vetor nulo, calculamos
F(0,0,0) = (3cdot0, a, 5cdot0) = (0, a, 0)
Numa transformação linear, deve valer F(0,0,0) = (0,0,0).
Da condição F(0,0,0) = (0,0,0), vemos que é preciso a = 0 para que o segundo componente seja zero.

Passo 3

Agora, assumindo a = 0, temos F(x,y,z) = (3x,0,5z). Vamos verificar:
  • Adicionalidade: para u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2),
F(u+v) = F(x1+x2, y1+y2, z1+z2) = (3(x1+x2), 0, 5(z1+z2))
= (3x1,0,5z1) + (3x2,0,5z2) = F(u) + F(v)
  • Homogeneidade: para escalar c,
F(cu) = F(cx1, cy1, cz1) = (3(cx1), 0, 5(cz1)) = c(3x1,0,5z1) = cF(u)

Passo 4

Como as duas propriedades e a condição sobre o vetor nulo são satisfeitas apenas quando a=0, concluímos a linearidade nesse caso.

Resposta

A transformação F(x,y,z) = (3x, a, 5z) é linear se, e somente se, a = 0.

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