Verifique se as transformações abaixo são lineares:
, onde
.
Passo 1
O exercício pede para verificar se a transformação
, dada por
, é linear. O conteúdo envolve a definição de transformação linear e as propriedades de aditividade, homogeneidade e imagem do vetor nulo.
Passo 2
Para testar a imagem do vetor nulo, calculamos
Numa transformação linear, deve valer
.
Da condição , vemos que é preciso
para que o segundo componente seja zero.
Da condição
Passo 3
Agora, assumindo
, temos
. Vamos verificar:
- Adicionalidade: para
e ,
- Homogeneidade: para escalar
,
Passo 4
Como as duas propriedades e a condição sobre o vetor nulo são satisfeitas apenas quando
, concluímos a linearidade nesse caso.
Resposta
A transformação
é linear se, e somente se,
.