Seja
a projeção ortogonal sobre o subespaço vetorial
gerado por um vetor não-nulo
. Mostre que
para
quaisquer em
. Conclua que
é uma transformação linear auto-adjunta, isto é, que
.
Passo 1
O enunciado fala de uma projeção ortogonal
sobre o subespaço unidimensional
, com
. Precisamos usar a fórmula da projeção em um espaço interno-produto e as propriedades do produto interno para mostrar que
para todos
. Isso implica que
é auto-adjunta, ou seja,
.
Passo 2
Recordando a fórmula da projeção ortogonal de
sobre
, temos
Note que essa expressão é linear em
, então
de fato é transformação linear.
Passo 3
Agora calculemos cada lado da igualdade desejada. Primeiro,
Em seguida,
Num espaço real,
, logo ambos resultam em
Portanto
Passo 4
Pela definição de adjunta,
é o único operador que satisfaz
Como acabamos de ver que
,
segue-se que , ou seja,
é auto-adjunta.
segue-se que
Resposta
Mostrou-se que para a projeção ortogonal
sobre
vale
para todos
. Portanto
.