Seja P: V V a projeção ortogonal sobre o subespaço vetorial W gerado por um vetor não-nulo u in V. Mostre que
lang<= P v, wrang<==lang<=v, P wrang<=
para v, w quaisquer em V. Conclua que P é uma transformação linear auto-adjunta, isto é, que P^*=P.

Passo 1

O enunciado fala de uma projeção ortogonal
Pcolon Vto V
sobre o subespaço unidimensional W=spanu, com uneq0. Precisamos usar a fórmula da projeção em um espaço interno-produto e as propriedades do produto interno para mostrar que
lang<= Pv,wrang<==lang<=v,Pwrang<=
para todos v,win V. Isso implica que P é auto-adjunta, ou seja, P^*=P.

Passo 2

Recordando a fórmula da projeção ortogonal de v sobre u, temos
Pv =lang<= v,urang<=lang<= u,urang<=,u
Note que essa expressão é linear em v, então P de fato é transformação linear.

Passo 3

Agora calculemos cada lado da igualdade desejada. Primeiro,
lang<= Pv,wrang<= =gllang<= lang<= v,urang<=lang<= u,urang<=,u,wgrrang<= =lang<= v,urang<=lang<= u,urang<=,lang<= u,wrang<=
Em seguida,
lang<= v,Pwrang<= =gllang<= v,lang<= w,urang<=lang<= u,urang<=,ugrrang<= =lang<= w,urang<=lang<= u,urang<=,lang<= v,urang<=
Num espaço real, lang<= u,wrang<==lang<= w,urang<=, logo ambos resultam em
lang<= v,urang<=,lang<= u,wrang<=lang<= u,urang<=
Portanto
lang<= Pv,wrang<==lang<= v,Pwrang<=

Passo 4

Pela definição de adjunta, P^* é o único operador que satisfaz
lang<= Pv,wrang<==lang<= v,P^*wrang<= para todos (v,w)
Como acabamos de ver que
lang<= Pv,wrang<==lang<= v,Pwrang<=,
segue-se que P^*=P, ou seja, P é auto-adjunta.

Resposta

Mostrou-se que para a projeção ortogonal P sobre spanu vale
lang<= Pv,wrang<==lang<= v,Pwrang<=
para todos v,win V. Portanto P^*=P.

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