Seja u um vetor não-nulo em V. Determine a matriz de R em uma base ortonormal que contenha o vetor unitário u|u|.

Passo 1

O enunciado quer a matriz do operador de reflexão
R(v)=v ;-;2,lang<= u,vrang<=|u|^2,u
numa base ortonormal que tenha como primeiro vetor
e1=u|u|,
O que precisamos é escolher vetores e2,dots,en que completem e1 numa base ortonormal de V e então expressar R(ei) nessa base.

Passo 2

Montamos a base ortonormal
,e1,e2,dots,en, e1=u|u|, lang<= ei,ejrang<==de<aij
Por construção, e2,dots,en estão no hiperplano ortogonal a u.

Passo 3

Calculamos agora as imagens de cada vetor da base pelo operador R.
Para e1:
R(e1) = e1;-;2,lang<= u,e1rang<=|u|^2,u = e1;-;2,|u|cdot|u|^-1,|u||u|^2,u = e1-2,e1 = -,e1
Para ek com k>=2, como lang<= u,ekrang<==0,
R(ek) = ek;-;2,0|u|^2,u = ek

Passo 4

Na base e1,dots,en, a coordenada de R(e1) é (-1,0,dots,0) e a de R(ek) para k>=2 é o vetor canônico com 1 na k-ésima posição. Logo a matriz de R nessa base é
-1 & 0 & cdots & 0 0 & 1 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & 1

Resposta

A matriz de R na base ortonormal que contém tfracu|u| como primeiro vetor é
diag(-1,1,dots,1)

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