Seja u um vetor não-nulo em V. Mostre que R circ R=I, onde I: V V é a transformação identidade.

Passo 1

O enunciado pede para provar que a reflexão R em relação à reta (ou hiperplano) ortogonal a um vetor não-nulo uin V satisfaz
Rcirc R = I,
ou seja, aplicar duas vezes a reflexão traz de volta qualquer vetor. Vamos usar a definição de reflexão via projeção ortogonal e as propriedades do produto interno.

Passo 2

Recordando a definição de reflexão de v em relação a u: primeiro projetamos v sobre u, depois subtraímos o dobro dessa projeção. Em fórmula,
R(v) ;=; v ;-;2,proju(v) com proju(v)=lang<= v,urang<=lang<= u,urang<=,u
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R(v)=v ;-;2,lang<= v,urang<=lang<= u,urang<=,u

Passo 3

Vamos calcular R(R(v)). Defina
alpha = lang<= v,urang<=lang<= u,urang<=,
de modo que R(v)=v-2alpha,u. Então
R(R(v)) =Rl(v-2alpha ur) =l(v-2alpha ur);-;2,lang<=,v-2alpha u,,,urang<=lang<= u,urang<=,u
No numerador do segundo termo interno temos
lang<=,v-2alpha u,,,urang<= =lang<= v,urang<= ;-;2alpha,lang<= u,urang<= =lang<= v,urang<= ;-;2lang<= v,urang<=lang<= u,urang<=,lang<= u,urang<= =lang<= v,urang<=-2lang<= v,urang<==-lang<= v,urang<=
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lang<=,v-2alpha u,,,urang<=lang<= u,urang<= =-lang<= v,urang<=lang<= u,urang<==-alpha
Substituindo de volta em R(R(v))
R(R(v)) =l(v-2alpha ur);-;2(-alpha),u =v-2alpha u+2alpha u =v

Resposta

Como R(R(v))=v para todo vin V, concluímos que
Rcirc R = I

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