Seja u um vetor não-nulo em
. Mostre que
, onde
é a transformação identidade.
Passo 1
O enunciado pede para provar que a reflexão
em relação à reta (ou hiperplano) ortogonal a um vetor não-nulo
satisfaz
ou seja, aplicar duas vezes a reflexão traz de volta qualquer vetor. Vamos usar a definição de reflexão via projeção ortogonal e as propriedades do produto interno.
Passo 2
Recordando a definição de reflexão de
em relação a
: primeiro projetamos
sobre
, depois subtraímos o dobro dessa projeção. Em fórmula,
Logo
Passo 3
Vamos calcular
. Defina
de modo que
. Então
No numerador do segundo termo interno temos
Logo
Substituindo de volta em
dá
Resposta
Como
para todo
, concluímos que