Seja u um vetor não-nulo em V. Mostre que a reflexão R: V V em torno da reta ell gerada por u é dada por
R v=2 lang<=v, urang<=lang<=u, urang<= u-v
Determine a matriz de R em uma base ortonormal que contenha o vetor unitário u|u|.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a reflexão em torno da reta ell=spanu é dada por
R(v)=2,lang<=v,urang<=lang<=u,urang<=u-v,
usando projeção ortogonal e decomposição de vetores, e então determinar a matriz de R numa base ortonormal que tenha e1=u/|u|.

Passo 2

Qualquer vin V pode ser escrito como soma da sua projeção na reta ell e de um componente ortogonal:
w=projell(v) =lang<=v,urang<=lang<=u,urang<=,u, z=v-w,
onde lang<= z,urang<==0.

Passo 3

Por definição de reflexão em torno de ell, o componente paralelo w permanece igual e o ortogonal z troca de sinal. Assim
R(v)=w - z = w - (v-w) =2w-v =2,lang<=v,urang<=lang<=u,urang<=u-v

Passo 4

Escolha uma base ortonormal e1,e2,dots,en com
e1=u|u|
Então para i=1 temos
R(e1) =2,lang<= e1,urang<=lang<=u,urang<=u-e1 =2,|u||u|^2,u-e1 =2e1-e1 =e1,
e para i>1, como lang<= ei,urang<==0,
R(ei) =2cdot0cdotu-ei =-ei

Passo 5

Na base e1,e2,dots,en o operador R envia e1mapsto e1 e eimapsto -ei para i>1, portanto sua matriz é diagonal com entrada 1 na primeira posição e -1 nas demais:
[R]ei= 1 & 0 & cdots & 0 0 & -1 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & -1

Resposta

[R]e1,e2,dots,en =diag(1,,-1,,-1,dots,,-1)

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