Seja u um vetor não-nulo em
. Mostre que a reflexão
em torno da reta
gerada por
é dada por
Determine a matriz de
em uma base ortonormal que contenha o vetor unitário
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a reflexão em torno da reta
é dada por
usando projeção ortogonal e decomposição de vetores, e então determinar a matriz de
numa base ortonormal que tenha
.
Passo 2
Qualquer
pode ser escrito como soma da sua projeção na reta
e de um componente ortogonal:
onde
.
Passo 3
Por definição de reflexão em torno de
, o componente paralelo
permanece igual e o ortogonal
troca de sinal. Assim
Passo 4
Escolha uma base ortonormal
com
Então para
temos
e para
, como
,
Passo 5
Na base
o operador
envia
e
para
, portanto sua matriz é diagonal com entrada
na primeira posição e
nas demais: