Seja
. Então
é uma raiz de multiplicidade
de
se e somente se
mas
, onde
denota a
-ésima derivada de
.
Passo 1
Enunciado e plano: Temos um polinômio
e queremos provar que
é raiz de multiplicidade
de
se, e somente se,
para
e
. Vamos usar a fatoração em torno de
e a expansão de Taylor (ou regra de Leibniz) para relacionar derivadas com essa fatoração.
Passo 2
Implicação direta (
): Se
é raiz de multiplicidade
, então existe
com
tal que
Aplicando a regra de Leibniz para derivar
vezes e avaliando em
, cada termo conserva um fator
, logo
Para
sobra só o termo de ordem zero em
e
Passo 3
Implicação recíproca (
): Se
para todo
e
, escrevemos a expansão de Taylor em torno de
:
Como os coeficientes de
são nulos e o de
é
, segue
mostrando que
é raiz de multiplicidade
.
Passo 4
Conclusão: Tanto provamos que a multiplicidade
implica o aniquilamento das primeiras
derivadas em
(até
) e a não anulação da
-ésima, quanto mostramos o inverso, fechando a equivalência.
Resposta
Mostramos que
é raiz de multiplicidade
de
se, e somente se,
para
e
.