Seja p(x) in K[x]. Então alpha é uma raiz de multiplicidade m de p(x) se e somente se p^(m-1)(alpha)=0 mas p^(m)(alpha) neq 0, onde p^(k)(x) denota a k-ésima derivada de p(x).

Passo 1

Enunciado e plano: Temos um polinômio p(x)inK[x] e queremos provar que alpha é raiz de multiplicidade m de p se, e somente se, p^(k)(alpha)=0 para k=0,1,dots,m-1 e p^(m)(alpha)neq0. Vamos usar a fatoração em torno de alpha e a expansão de Taylor (ou regra de Leibniz) para relacionar derivadas com essa fatoração.

Passo 2

Implicação direta ( Rightarrow): Se alpha é raiz de multiplicidade m, então existe r(x)inK[x] com r(alpha)neq0 tal que
p(x)=(x-alpha)^m,r(x)
Aplicando a regra de Leibniz para derivar k vezes e avaliando em x=alpha, cada termo conserva um fator (x-alpha)^m-k, logo
p^(k)(alpha)=0(0<= k
Para k=m sobra só o termo de ordem zero em (x-alpha) e
p^(m)(alpha)=m!,r(alpha)neq0

Passo 3

Implicação recíproca ( Leftarrow): Se p^(k)(alpha)=0 para todo k e p^(m)(alpha)neq0, escrevemos a expansão de Taylor em torno de alpha:
p(x)=sumk=0^np^(k)(alpha)k!(x-alpha)^k
Como os coeficientes de k=0,1,dots,m-1 são nulos e o de k=m é p^(m)(alpha)/m!neq0, segue
p(x)=(x-alpha)^m,q(x), q(alpha)=p^(m)(alpha)m!neq0,
mostrando que alpha é raiz de multiplicidade m.

Passo 4

Conclusão: Tanto provamos que a multiplicidade m implica o aniquilamento das primeiras m derivadas em alpha (até m-1) e a não anulação da m-ésima, quanto mostramos o inverso, fechando a equivalência.

Resposta

Mostramos que alpha é raiz de multiplicidade m de p(x) se, e somente se, p^(k)(alpha)=0 para k=0,1,dots,m-1 e p^(m)(alpha)neq0.

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