Sejam E, F e G tres espaços vetoriais, f in L(E, F) e g in L(F, G). Provar que :
a. g circ f é linear.
b. Ker(g circ f)=f^-1(Ker g)
c. Ker f subset Ker(g circ f)
d. Im(g circ f)=g(Im f)
e. Im(g circ f) subset Im g
f. Ker(g circ f)=Ker f Long<=ftrightarrow Ker g cap Im f=0

Passo 1

Resumo do enunciado: temos espaços vetoriais E, F e G e aplicações lineares fcolon Eto F e gcolon Fto G. Vamos provar propriedades da composição gcirc f referentes à linearidade, núcleo (Ker) e imagem (Im). Precisaremos da definição de função linear, das definições ker h=x:h(x)=0, Imh=h(x):xindom h e da pré-imagem f^-1(S)=x:f(x)in S.

Passo 2

Para provar que gcirc f é linear, lembramos que uma função h é linear se satisfaz h(u+v)=h(u)+h(v) e h(alpha u)=alpha h(u). Tomando x,yin E e alpha escalar, temos
(gcirc f)(x+y)=gl(f(x+y)r)=gl(f(x)+f(y)r)=g(f(x))+g(f(y))=(gcirc f)(x)+(gcirc f)(y)
e de modo análogo
(gcirc f)(alpha x)=gl(f(alpha x)r)=gl(alpha f(x)r)=alpha g(f(x))=alpha(gcirc f)(x)
Logo, gcirc f é linear.

Passo 3

Para mostrar ker(gcirc f)=f^-1(ker g), façamos as duas inclusões:
  1. Se xinker(gcirc f), então (gcirc f)(x)=0, ou seja g(f(x))=0. Logo f(x)inker g e portanto xin f^-1(ker g).
  2. Se xin f^-1(ker g), então f(x)inker g, isto é g(f(x))=0. Logo (gcirc f)(x)=0, e assim xinker(gcirc f).
    Portanto, ker(gcirc f)=f^-1(ker g).

Passo 4

Como ker f=xin E:f(x)=0, sempre que f(x)=0 temos g(f(x))=g(0)=0, logo xinker(gcirc f). Assim
ker fsubsetker(gcirc f)

Passo 5

Para Im(gcirc f)=g(Imf), mostre duas inclusões:
  1. Se yinIm(gcirc f), existe xin E tal que y=(gcirc f)(x)=g(f(x)). Como f(x)inImf, segue yin g(Imf).
  2. Se yin g(Imf), existe vinImf com y=g(v). Como v=f(x) para algum xin E, temos y=g(f(x))=(gcirc f)(x), logo yinIm(gcirc f).
    Portanto, igualdade.

Passo 6

Como g(Imf)subsetImg por definição de imagem, obtemos imediatamente
Im(gcirc f)=g(Imf)subsetImg

Passo 7

Para a equivalência ker(gcirc f)=ker fiffker gcapImf=0, use o resultado ker(gcirc f)=f^-1(ker g). Se as kers são iguais, então
f^-1(ker g)=ker f implica que sempre que f(x)inker g temos f(x)=0, ou seja o único vetor de ker gcapImf é 0. Reciprocamente, se ker gcapImf=0, então f(x)inker g implica f(x)=0, logo xinker f e assim f^-1(ker g)=ker f, ou seja ker(gcirc f)=ker f.

Resposta

g\circ f é linear; ker(gcirc f)=f^-1(ker g); ker fsubsetker(gcirc f); Im(gcirc f)=g(Imf); Im(gcirc f)subsetImg; e ker(gcirc f)=ker f se e somente se ker gcapImf=0.

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