Sejam
e
tres espaços vetoriais,
e
. Provar que :
a.
é linear.
b.
c.
d.
e.
f.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos espaços vetoriais E, F e G e aplicações lineares
e
. Vamos provar propriedades da composição
referentes à linearidade, núcleo (Ker) e imagem (Im). Precisaremos da definição de função linear, das definições
,
e da pré-imagem
.
Passo 2
Para provar que
é linear, lembramos que uma função
é linear se satisfaz
e
. Tomando
e
escalar, temos
e de modo análogo
Logo,
é linear.
Passo 3
Para mostrar
, façamos as duas inclusões:
- Se
, então , ou seja . Logo e portanto . - Se
, então , isto é . Logo , e assim .
Portanto,.
Passo 4
Como
, sempre que
temos
, logo
. Assim
Passo 5
Para
, mostre duas inclusões:
- Se
, existe tal que . Como , segue . - Se
, existe com . Como para algum , temos , logo .
Portanto, igualdade.
Passo 6
Como
por definição de imagem, obtemos imediatamente
Passo 7
Para a equivalência
, use o resultado
. Se as kers são iguais, então
implica que sempre que
temos
, ou seja o único vetor de
é
. Reciprocamente, se
, então
implica
, logo
e assim
, ou seja
.
Resposta
g\circ f é linear;
;
;
;
; e
se e somente se
.