Seja
o paraboloide elíptico de equação
. Determine, caso exista, a interseção correspondente a cada um dos planos
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um paraboloide elíptico dado pela equação
e um plano
. O objetivo é descobrir se esses dois se cruzam em algum lugar e, se sim, onde. Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria analítica e álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a equação do paraboloide. Ela nos diz que para cada ponto no paraboloide, o valor de
depende dos valores de
e
conforme a fórmula
. Agora, queremos encontrar os pontos onde esse paraboloide intersecta o plano
.
Passo 3
Para encontrar a interseção, vamos substituir
na equação do paraboloide pela expressão do plano. Ou seja, vamos igualar as duas equações:
Passo 4
Agora, temos a equação:
Precisamos ver se existem valores reais de
e
que satisfazem essa equação.
Passo 5
Observamos que
e
são termos sempre positivos ou iguais a zero, já que o quadrado de qualquer número real é não negativo. A soma de dois números não negativos nunca pode ser negativa.
Passo 6
Então, temos que a soma
é sempre maior ou igual a zero. Mas, na equação que obtivemos, essa soma deveria ser igual a -1, o que é impossível porque não existe soma de números não negativos que dê um resultado negativo.
Resposta
Não existe interseção real entre o paraboloide
e o plano
. Ou seja, eles não se cruzam em nenhum ponto no espaço real.