Seja S o paraboloide elíptico de equação S: y=x^216+z^29. Determine, caso exista, a interseção correspondente a cada um dos planos
y=-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um paraboloide elíptico dado pela equação S: y = x^216 + z^29 e um plano y = -1 . O objetivo é descobrir se esses dois se cruzam em algum lugar e, se sim, onde. Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria analítica e álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a equação do paraboloide. Ela nos diz que para cada ponto no paraboloide, o valor de y depende dos valores de x e z conforme a fórmula y = x^216 + z^29 . Agora, queremos encontrar os pontos onde esse paraboloide intersecta o plano y = -1 .

Passo 3

Para encontrar a interseção, vamos substituir y na equação do paraboloide pela expressão do plano. Ou seja, vamos igualar as duas equações:
-1 = x^216 + z^29

Passo 4

Agora, temos a equação:
x^216 + z^29 = -1
Precisamos ver se existem valores reais de x e z que satisfazem essa equação.

Passo 5

Observamos que x^216 e z^29 são termos sempre positivos ou iguais a zero, já que o quadrado de qualquer número real é não negativo. A soma de dois números não negativos nunca pode ser negativa.

Passo 6

Então, temos que a soma x^216 + z^29 é sempre maior ou igual a zero. Mas, na equação que obtivemos, essa soma deveria ser igual a -1, o que é impossível porque não existe soma de números não negativos que dê um resultado negativo.

Resposta

Não existe interseção real entre o paraboloide S e o plano y = -1 . Ou seja, eles não se cruzam em nenhum ponto no espaço real.

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