Seja R a região do espaço limitada lateralmente pelo cilindro x^2+y^2=1, inferiormente pelo plano z=-1 e superiormente pelo plano y+z=2. Dado o campo vetorial F(x, y, z)=(y-z) i+(-x+y-2) j+(x+z) k,
Use o Teorema da Divergência para calcular o fluxo de F em S, a superfície de R, onde S está orientada com campo normal n apontando para fora.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de vec F pela superfície externa de R, onde
R=(x,y,z)mid x^2+y^2<=1,;-1<= z<=2-y
Vamos usar o Teorema da Divergência, que diz
integral duplaSvec Fcdotvec n,dS ;=;integral triplaRnablacdotvec F,dV

Passo 2

Calculamos a divergência de vec F(x,y,z)=(y-z),vec i+(-x+y-2),vec j+(x+z),vec k:
nablacdotvec F =partialpartial x(y-z) +partialpartial y(-x+y-2) +partialpartial z(x+z) =0+1+1=2

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência,
integral duplaSvec Fcdotvec n,dS =integral triplaR2,dV =2;integral triplaRdV =2;Vol(R)

Passo 4

Para achar Vol(R), integramos a altura l[(2-y)-(-1)r]=3-y sobre a base x^2+y^2<=1:
Vol(R) =integral duplax^2+y^2<=1(3-y),dA

Passo 5

No disco de raio 1 vale
integral dupla(3-y),dA =3integral dupla dA ;-;integral dupla y,dA =3cdotpicdot1^2;-;0 =3pi,
pois integral duplax^2+y^2<=1y,dA=0 por simetria.

Passo 6

Logo
integral duplaSvec Fcdotvec n,dS =2;Vol(R) =2cdot3pi =6pi

Resposta

O fluxo de vec F em S é 6pi.

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