Seja P o ponto do gráfico y=x^3 com coordenadas (1,1).
(a) Se Q é o ponto do gráfico com abscissa 1+h, onde h neq 0, calcule a inclinação da reta secante P Q.
(b) Fazendo h 0 na sua resposta do item anterior, obtenha a inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto P=(1,1). Confirme sua resposta usando a fórmula da derivada de x^n vista em aula.

Passo 1

O enunciado pede a inclinação da reta secante ao gráfico de y=x^3 que passa por
P=(1,1) e
Q=(1+h,(1+h)^3), e depois o limite dessa inclinação quando hto0 para obter a inclinação da reta tangente em P. Em seguida, devemos confirmar o resultado usando a fórmula da derivada de x^n.

Passo 2

As coordenadas são
P=(1,1), Q=(1+h,(1+h)^3)
A inclinação da secante PQ é
mPQ =yQ-yPxQ-xP =(1+h)^3-1(1+h)-1 =(1+h)^3-1h

Passo 3

Expandindo o numerador:
(1+h)^3 = 1 + 3h + 3h^2 + h^3
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(1+h)^3 - 1 = 3h + 3h^2 + h^3
e dividindo por h obtemos
mPQ =3h+3h^2+h^3h =3 + 3h + h^2

Passo 4

Fazendo h 0 em mPQ=3+3h+h^2, temos
limhto0mPQ =limhto0(3+3h+h^2) =3
Essa é a inclinação da reta tangente em P.

Passo 5

Pela fórmula da derivada de x^n,
ddxx^n = n x^n-1,
para n=3 temos
f'(x)=3x^2 Longrightarrow f'(1)=3cdot1^2=3,
confirmando o valor obtido pelo limite.

Resposta

(a) ,3+3h+h^2
(b) ,3

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