Seja um plano infinito z=0 de densidade de carga sigma=0,8 mu C / m^2 e uma carga q=4,0 mu C no ponto ( 2 ; 3 ; 4 ), calcule as coordenadas do ponto onde |E|=0. (coordenadas em metros)

Passo 1

O enunciado dá um plano infinito em z=0 com densidade de carga sigma=0,8,mu C/m^2 e uma carga pontual q=4,0,mu C em (2,3,4). Queremos o ponto (x,y,z) onde o campo elétrico resultante vec Erm plano+vec Erm ponto se anula. Para resolver, usaremos superposição de campos, a expressão do campo de uma carga pontual (lei de Coulomb) e do campo de um plano infinito uniforme.

Passo 2

Para que vec Erm plano+vec Erm ponto=0 como vetores, os dois campos devem ter a mesma direção mas sentidos opostos. O campo do plano é puramente vertical ( z), então o campo da carga pontual nesse ponto deve também ser puramente vertical. Isso só ocorre se o ponto estiver na projeção vertical da carga, ou seja, em x=2 e y=3.

Passo 3

Para z>0, o campo de um plano infinito uniformemente carregado é constante e aponta para cima:
vec Erm plano ;=;l(0,0,tfracsigma2varepsilon0r)
O campo de uma carga pontual em (2,3,4), avaliado no ponto (2,3,z), tem só componente z:
vec Erm ponto ;=; k,q, z-4l|z-4r|^3,(0,0,1),
onde k=1/(4pivarepsilon0).

Passo 4

Impondo vec Erm plano+vec Erm ponto=0 no componente z, obtemos
k,q,z-4lvert z-4rvert^3 ;+;sigma2varepsilon0;=;0
Para z<4 tem-se z-4lvert z-4rvert^3=-1(4-z)^2, daí
k,q,l(-1(4-z)^2r) +sigma2varepsilon0=0 ;;Longrightarrow;; k,q(4-z)^2=sigma2varepsilon0
Substituindo k=1/(4pivarepsilon0), resulta
(4-z)^2 =2varepsilon0,k,qsigma =q2pi,sigma

Passo 5

Calculando numericamente:
q2pi,sigma =4,0times10^-62pi,(0,8times10^-6) approx0,7958 Longrightarrow 4-zapproxraiz0,7958approx0,8921
zapprox4-0,8921=3,1079 m

Resposta

As coordenadas do ponto onde lvertvec Ervert=0 são
(2,;3,;3,108) m

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