Sejam f(x)=x^2-4 x+15 e g(x)=x^2+8.
Para o operador T in L(R^2), T(x, y)=[c2 x-3 y 5 x+y]. Determine f(T), g(T) e f(T) circ g(T).

Passo 1

O enunciado define os polinômios
f(x)=x^2-4x+15, g(x)=x^2+8
e o operador linear TcolonR^2toR^2 dado por
T(x,y)=2x-3y5x+y
Queremos calcular os operadores polinomiais
,f(T)=T^2-4T+15I,
,g(T)=T^2+8I
e a composição f(T)circ g(T).
Precisaremos de T^2=Tcirc T e da matriz identidade I.

Passo 2

Vamos achar T^2(x,y)=Tl(T(x,y)r). Primeiro
T(x,y)=l(2x-3y,;5x+yr)
Aplicando T de novo:
Tl(2x-3y,;5x+yr) =l(2(2x-3y)-3(5x+y),;5(2x-3y)+(5x+y)r)
Isso dá
T^2(x,y)=(-11x-9y,;15x-14y)

Passo 3

Em forma de matrizes (colunas são as imagens de (1,0) e (0,1)):
T=2 & -35 & 1
T^2=-11 & -915 & -14
I=1 & 00 & 1

Passo 4

Calculamos
f(T)=T^2-4T+15I
Subtraindo 4T de T^2:
T^2-4T =-11 & -915 & -14 -42 & -35 & 1 =-19 & 3-5 & -18
Somando 15I:
f(T) =-19 & 3-5 & -18 +151 & 00 & 1 =-4 & 3-5 & -3
Logo, para todo (x,y),
f(T)(x,y)=l(-4x+3y,,-5x-3yr)

Passo 5

Agora
g(T)=T^2+8I =-11 & -915 & -14 +81 & 00 & 1 =-3 & -915 & -6
Assim
g(T)(x,y)=l(-3x-9y,;15x-6yr)

Passo 6

Por fim, compomos f(T)circ g(T). Se (u,v)=g(T)(x,y), então
(u,v)=(-3x-9y,;15x-6y),
e
f(T)(u,v)=l(-4u+3v,,-5u-3vr)
Substituindo:
-4u+3v=-4(-3x-9y)+3(15x-6y)=57x+18y,
-5u-3v=-5(-3x-9y)-3(15x-6y)=-30x+63y
Portanto
(f(T)circ g(T))(x,y)=l(57x+18y,,-30x+63yr)

Resposta

f(T)(x,y) = (-4x + 3y,, -5x - 3y)
g(T)(x,y) = (-3x - 9y,; 15x - 6y)
(f(T) circ g(T))(x,y) = (57x + 18y,, -30x + 63y)

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