Sejam f(x)=x^2-4 x+15 e g(x)=x^2+8.
Para o operador T in L(R^3), T(x, y)=[cx 2 y+11 z -y+2 z]. Determine f(T), g(T) e f(T) circ g(T).

Passo 1

O enunciado pede para calcular os polinômios de um operador linear T definido em R^3, a saber
f(T)=T^2 -4T +15I, g(T)=T^2 +8I,
e depois a composição f(T)circ g(T).
Conteúdo: cálculo de T^2 e uso da definição de polinômio de operador, lembrando que I é a identidade em R^3.

Passo 2

Calcular T^2. Primeiro, lembrando
T(x,y,z) = x 2y+11z -y+2z
Então
T^2(x,y,z)=Tl(T(x,y,z)r) =T x 2y+11z -y+2z = x 2(2y+11z)+11(-y+2z) -(2y+11z)+2(-y+2z) = x -7y+44z -4y-7z

Passo 3

Calcular f(T)=T^2-4T+15I. Para (x,y,z) temos
T^2(x,y,z)=x-7y+44z-4y-7z, -4T(x,y,z)=-4x-8y-44z4y-8z, 15I(x,y,z)=15x15y15z
Somando componente a componente:
f(T)(x,y,z) = x-4x+15x (-7y+44z)+(-8y-44z)+15y (-4y-7z)+(4y-8z)+15z =12x00

Passo 4

Calcular g(T)=T^2+8I. Usando T^2(x,y,z) e 8I(x,y,z)=(8x,8y,8z),
g(T)(x,y,z) = x+8x (-7y+44z)+8y (-4y-7z)+8z = 9x y+44z -4y+z

Passo 5

Calcular a composição . Para , primeiro
depois aplicamos , que só retém a primeira coordenada multiplicada por 12:

Resposta

f(T) (x,y,z)=l(12x,0,0r)
g(T) (x,y,z)=l(9x,,y+44z,,-4y+zr)
(f(T)circ g(T))(x,y,z)=l(108x,0,0r)

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