Seja
um ponto singular para a equação diferencial
. Dizemos que
é um ponto singular regular se
é anaítica em
e
é analítica em
, isto é, se a singularidade dos coeficientes
e
pode ser removida pela multiplicação, respectivamente, por
e
. Com esta definição classifique os pontos singulares em regulares ou não regulares:
Passo 1
O enunciado pede para classificar os pontos singulares da equação
no sentido de singulares regulares ou irregulares.
O conteúdo é a teoria de pontos singulares de uma EDO linear de segunda ordem na forma
O conteúdo é a teoria de pontos singulares de uma EDO linear de segunda ordem na forma
e vamos usar o critério:
é singular regular se
e
são analíticas em
.
Passo 2
Primeiro colocamos a equação na forma padrão dividindo tudo por
(note que isso já indica que
é um ponto a analisar):
Portanto
Passo 3
Os pontos singulares em análise são as raízes do coeficiente de
, que aqui é
. Logo o único ponto singular em
é
Passo 4
Verificamos a regularidade em
:
Ambas as funções são polinomiais em
, logo analíticas em
. Segundo o critério,
é, portanto, um ponto singular regular.
Resposta
O único ponto singular é
, e ele é um ponto singular regular.