Seja x0 um ponto singular para a equação diferencial y^prime prime+P(x) y^prime+Q(x) y=0. Dizemos que x0 é um ponto singular regular se (x-x0) P(x) é anaítica em x0 e (x-x0)^2 Q(x) é analítica em x0, isto é, se a singularidade dos coeficientes P(x) e Q(x) pode ser removida pela multiplicação, respectivamente, por (x-x0) e (x-x0)^2. Com esta definição classifique os pontos singulares em regulares ou não regulares:
8 x y^prime prime-2 x^2 y^prime+5 x y=0

Passo 1

O enunciado pede para classificar os pontos singulares da equação
8x,y''-2x^2,y'+5x,y=0
no sentido de singulares regulares ou irregulares.
O conteúdo é a teoria de pontos singulares de uma EDO linear de segunda ordem na forma
y''+P(x),y'+Q(x),y=0
e vamos usar o critério: x0 é singular regular se (x-x0)P(x) e (x-x0)^2Q(x) são analíticas em x0.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão dividindo tudo por 8x (note que isso já indica que x=0 é um ponto a analisar):
y''-2x^28x,y'+5x8x,y=0
Portanto
P(x)=-x4, Q(x)=58

Passo 3

Os pontos singulares em análise são as raízes do coeficiente de y'', que aqui é 8x. Logo o único ponto singular em R é
x0=0

Passo 4

Verificamos a regularidade em x0=0:
(x-0),P(x)=xl(-tfracx4r)=-x^24,
(x-0)^2,Q(x)=x^2cdot58=5x^28
Ambas as funções são polinomiais em x, logo analíticas em x=0. Segundo o critério, x0=0 é, portanto, um ponto singular regular.

Resposta

O único ponto singular é x=0, e ele é um ponto singular regular.

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