Seja os 4 pontos dados a seguir utilizando a interpolação cúbica achar P_{3}=a_{3} x^{3}+a_{2} x^{2}+ a_{1} x+a_{0} :
(1 ; 10) ;(2 ; 24) ;(3 ; 54) ;(4 ; 106) ; P(1,5)

Passo 1

Temos quatro pontos (1,10), (2,24), (3,54) e (4,106) e queremos o polinômio de grau 3 que interpola esses pontos, ou seja
P_3(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0
e em seguida calcular P(1,5). O método que iremos usar é a forma de Newton com diferenças divididas.

Passo 2

Na forma de Newton, o polinômio fica
P_3(x)=f[x_0]+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)+f[x_0,x_1,x_2,x_3](x-x_0)(x-x_1)(x-x_2),
onde x_0=1, x_1=2, x_2=3, x_3=4 e f[x_i,\dots,x_j] são as diferenças divididas.

Passo 3

Calculamos as diferenças divididas:
Inicialmente
f(1)=10,\quad f(2)=24,\quad f(3)=54,\quad f(4)=106.
Diferenças de primeira ordem:
f[1,2]=\frac{24-10}{2-1}=14,\quad f[2,3]=\frac{54-24}{3-2}=30,\quad f[3,4]=\frac{106-54}{4-3}=52.
Diferenças de segunda ordem:
f[1,2,3]=\frac{30-14}{3-1}=8,\quad f[2,3,4]=\frac{52-30}{4-2}=11.
Diferença de terceira ordem:
f[1,2,3,4]=\frac{11-8}{4-1}=1.

Passo 4

Substituindo no polinômio de Newton:
P_3(x)=10+14(x-1)+8(x-1)(x-2)+1\,(x-1)(x-2)(x-3).

Passo 5

Vamos expandir para a forma padrão:
14(x-1)=14x-14,
8(x-1)(x-2)=8\bigl(x^2-3x+2\bigr)=8x^2-24x+16,
(x-1)(x-2)(x-3)=x^3-6x^2+11x-6.
Somando tudo:
P_3(x)=x^3+(8-6)x^2+(14-24+11)x+(10-14+16-6) =x^3+2x^2+x+6.

Passo 6

Para x=1,5 temos
P(1,5)=(1,5)^3+2(1,5)^2+1,5+6 =3,375+4,5+1,5+6 =15,375.

Resposta

P_3(x)=x^3+2x^2+x+6. P(1,5)=15,375.

Exercícios relacionados