Usando a segunda regra composta de Simpson ( h-1 ), calcular a integral na forma aproximada e exata e determinar o crro.
a) I=\int_{1}^{7}\left(x^{2}+2 x+7\right) d x
b) I=\int_{1}^{7}\left(x^{2}+4 x+5\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para aproximar e calcular exatamente as integrais
a) \displaystyle I=\int_{1}^{7}(x^{2}+2x+7)\,dx
b) \displaystyle I=\int_{1}^{7}(x^{2}+4x+5)\,dx
usando a regra composta de Simpson (1/3) com passo h=1. Como as funções são polinômios de grau 2, sabemos que a regra de Simpson é exata (erro zero) para esses casos.

Passo 2

Para a regra composta de Simpson com n subintervalos pares, h=(b-a)/n. Aqui a=1, b=7 e escolhemos n=6 (par), de modo que
h=\frac{7-1}{6}=1.
A fórmula de Simpson composta é
\int_{1}^{7}f(x)\,dx\approx \frac{h}{3}\Bigl[f(x_{0})+4\sum_{i\text{ ímpar}}f(x_{i}) +2\sum_{i\text{ par},\,i\neq0,n}f(x_{i})+f(x_{n})\Bigr].í

Passo 3

(a) Aproximação pela regra de Simpson para f(x)=x^{2}+2x+7.
Calculamos x_i=1,2,3,4,5,6,7 e
f(1)=10,\;f(2)=15,\;f(3)=22,\;f(4)=31,\;f(5)=42,\;f(6)=55,\;f(7)=70.
Aplicando Simpson:
I_{\text{app}} =\frac{1}{3}\bigl[\,10 +4(15+31+55) +2(22+42) +70\bigr] =\frac{1}{3}[10+4\cdot101+2\cdot64+70] =\frac{1}{3}\cdot612 =204.

Passo 4

(a) Cálculo exato de \displaystyle\int_{1}^{7}(x^{2}+2x+7)\,dx.
Uma primitiva é
F(x)=\frac{x^{3}}{3}+x^{2}+7x.
Logo
I_{\text{ex}} =F(7)-F(1) =\Bigl(\frac{343}{3}+49+49\Bigr) -\Bigl(\frac{1}{3}+1+7\Bigr) =204.
Erro:
E=I_{\text{ex}}-I_{\text{app}}=204-204=0.

Passo 5

(b) Aproximação pela regra de Simpson para g(x)=x^{2}+4x+5.
Usamos os mesmos nós x_i e calculamos
g(1)=10,\;g(2)=17,\;g(3)=26,\;g(4)=37,\;g(5)=50,\;g(6)=65,\;g(7)=82.
Aplicando Simpson:
I_{\text{app}} =\frac{1}{3}\bigl[\,10 +4(17+37+65) +2(26+50) +82\bigr] =\frac{1}{3}[10+4\cdot119+2\cdot76+82] =\frac{1}{3}\cdot720 =240.

Passo 6

(b) Cálculo exato de \displaystyle\int_{1}^{7}(x^{2}+4x+5)\,dx.
Uma primitiva é
G(x)=\frac{x^{3}}{3}+2x^{2}+5x.
Logo
I_{\text{ex}} =G(7)-G(1) =\Bigl(\frac{343}{3}+98+35\Bigr) -\Bigl(\frac{1}{3}+2+5\Bigr) =240.
Erro:
E=I_{\text{ex}}-I_{\text{app}}=240-240=0.

Resposta

a) Aproximação 204, exato 204, erro 0.
b) Aproximação 240, exato 240, erro 0.

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