Seja A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime} um paralelepípedo retângulo, com A B C D sendo um quadrado de lado 1 e A A^{\prime}, B B^{\prime}, CC’ e DD’ arestas de tamanho 2. Seja E o ponto médio de C’D’ e F o ponto no segmento AD’ tal que \mathrm{AF}=2 \mathrm{D}^{\prime} \mathrm{F}. Assim, o cosseno do ângulo agudo formado pelas retas EF a \mathrm{CB}^{\prime} é
(A) \frac{5}{\sqrt{141}}
(B) \frac{5}{\sqrt{145}}
(C) \frac{6}{\sqrt{145}}
(D) \frac{6}{\sqrt{149}}
(E) NDA.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • O paralelepípedo retângulo tem a base A B C D sendo um quadrado de lado 1.
  • As arestas verticais A A^{\prime}, B B^{\prime}, C C^{\prime}, D D^{\prime} têm comprimento 2.
  • E é o ponto médio de C^{\prime}D^{\prime}.
  • F é o ponto do segmento AD^{\prime} tal que \mathrm{AF}=2\,\mathrm{D}^{\prime}\mathrm{F}.
  • Pede-se o cosseno do ângulo agudo formado pelas retas EF e CB^{\prime}.
Essas são todas as informações importantes extraídas do enunciado.

Passo 2

Escolho um sistema de coordenadas simples para representar os vértices e facilitar os cálculos (isso é comum em geometria espacial).
  • Coloco \,A=(0,0,0)\,.
  • Como ABCD é um quadrado de lado 1 no plano z=0, tomo B=(1,0,0),\qquad C=(1,1,0),\qquad D=(0,1,0).
  • As arestas verticais têm comprimento 2, então os vértices com 'apice são obtidos somando 2 na coordendada z: A'=(0,0,2),\qquad B'=(1,0,2),\qquad C'=(1,1,2),\qquad D'=(0,1,2).

Passo 3

Calculo as coordenadas de E e F usando as definições do enunciado.
  • E é o ponto médio de C'\,D'. Como C'=(1,1,2) e D'=(0,1,2),
    E=\frac{C'+D'}{2}=\left(\frac{1+0}{2},\frac{1+1}{2},\frac{2+2}{2}\right)=\left(\tfrac{1}{2},1,2\right).
  • F está no segmento AD' com a razão \mathrm{AF}=2\,\mathrm{D}'\mathrm{F}. Parametrizo F por
    F=A+s(D'-A),\qquad 0\le s\le1.
    Então \mathrm{AF}=s\cdot|D'-A| e \mathrm{D}'\mathrm{F}=(1-s)\cdot|D'-A|. A condição s=2(1-s)
    s= \frac{2}{3}.
    Assim
    F=A+\tfrac{2}{3}(D'-A)=\tfrac{2}{3}D'=\left(0,\tfrac{2}{3},\tfrac{4}{3}\right).

Passo 4

Obtenho os vetores diretores das retas consideradas (vetor que indica a direção da reta).
  • Vetor diretor de CB': \overrightarrow{CB'}=B'-C. Com B'=(1,0,2) e C=(1,1,0),
    \overrightarrow{CB'}=(0,-1,2).
  • Vetor diretor de EF: \overrightarrow{EF}=F-E. Com F=\left(0,\tfrac{2}{3},\tfrac{4}{3}\right) e E=\left(\tfrac{1}{2},1,2\right),
    \overrightarrow{EF}=\left(-\tfrac{1}{2},-\tfrac{1}{3},-\tfrac{2}{3}\right).
    (Se preferir, podemos multiplicar por -1 sem alterar o ângulo; vou usar este vetor tal como está.)

Passo 5

Lembro a fórmula-chave para o ângulo entre duas retas: o cosseno do ângulo \theta entre duas retas é o cosseno do ângulo entre seus vetores diretores. Para vetores \mathbf{u} e \mathbf{v},
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=|\mathbf{u}|\;|\mathbf{v}|\cos\theta,
onde \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} é o produto escalar e |\mathbf{u}| é a norma (módulo) de \mathbf{u}. Para obter o cosseno usamos
\cos\theta=\frac{|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}|}{|\mathbf{u}|\;|\mathbf{v}|},
colocando valor absoluto no numerador quando queremos o ângulo agudo (isso garante resultado positivo).

Passo 6

Calculo o produto escalar e as normas.
  • Produto escalar:
    \overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{CB'} = \left(-\tfrac{1}{2}\right)\cdot 0 + \left(-\tfrac{1}{3}\right)\cdot(-1) + \left(-\tfrac{2}{3}\right)\cdot 2 = 0 + \tfrac{1}{3} - \tfrac{4}{3} = -1.
  • Norma de \overrightarrow{EF}:
    |\overrightarrow{EF}|=\sqrt{\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(-\tfrac{1}{3}\right)^{2}+\left(-\tfrac{2}{3}\right)^{2}} =\sqrt{\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{9}+\tfrac{4}{9}} =\sqrt{\tfrac{9+4+16}{36}} =\sqrt{\tfrac{29}{36}}=\frac{\sqrt{29}}{6}.
  • Norma de \overrightarrow{CB'}:
    |\overrightarrow{CB'}|=\sqrt{0^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}.

Passo 7

Aplico a fórmula do cosseno do ângulo agudo (uso valor absoluto do produto escalar porque o enunciado pede o cosseno do ângulo agudo entre as retas):
\cos\theta=\frac{|\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{CB'}|}{|\overrightarrow{EF}|\;|\overrightarrow{CB'}|} =\frac{|{-1}|}{\left(\dfrac{\sqrt{29}}{6}\right)\sqrt{5}} =\frac{1}{\dfrac{\sqrt{29\cdot5}}{6}} =\frac{6}{\sqrt{145}}.
Portanto o cosseno do ângulo agudo pedido é \dfrac{6}{\sqrt{145}}.

Resposta

(C) \dfrac{6}{\sqrt{145}}

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