Seja A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime} um paralelepípedo retângulo, com A B C D sendo um quadrado de lado 1 e A A^{\prime}, B B^{\prime}, CC’ e DD’ arestas de tamanho 2. Seja E o ponto médio de C’D’ e F o ponto no segmento AD’ tal que \mathrm{AF}=2 \mathrm{D}^{\prime} \mathrm{F}. Assim, o cosseno do ângulo agudo formado pelas retas EF a \mathrm{CB}^{\prime} é
(A) \frac{5}{\sqrt{141}}
(B) \frac{5}{\sqrt{145}}
(C) \frac{6}{\sqrt{145}}
(D) \frac{6}{\sqrt{149}}
(E) NDA.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
O paralelepípedo retângulo tem a base A B C D sendo um quadrado de lado 1.
As arestas verticais A A^{\prime}, B B^{\prime}, C C^{\prime}, D D^{\prime} têm comprimento 2.
E é o ponto médio de C^{\prime}D^{\prime}.
F é o ponto do segmento AD^{\prime} tal que \mathrm{AF}=2\,\mathrm{D}^{\prime}\mathrm{F}.
Pede-se o cosseno do ângulo agudo formado pelas retas EF e CB^{\prime}.
Essas são todas as informações importantes extraídas do enunciado.
Passo 2
Escolho um sistema de coordenadas simples para representar os vértices e facilitar os cálculos (isso é comum em geometria espacial).
Coloco \,A=(0,0,0)\,.
Como ABCD é um quadrado de lado 1 no plano z=0, tomoB=(1,0,0),\qquad C=(1,1,0),\qquad D=(0,1,0).
As arestas verticais têm comprimento 2, então os vértices com 'apice são obtidos somando 2 na coordendada z:A'=(0,0,2),\qquad B'=(1,0,2),\qquad C'=(1,1,2),\qquad D'=(0,1,2).
Passo 3
Calculo as coordenadas de E e F usando as definições do enunciado.
E é o ponto médio de C'\,D'. Como C'=(1,1,2) e D'=(0,1,2),
(Se preferir, podemos multiplicar por -1 sem alterar o ângulo; vou usar este vetor tal como está.)
Passo 5
Lembro a fórmula-chave para o ângulo entre duas retas: o cosseno do ângulo \theta entre duas retas é o cosseno do ângulo entre seus vetores diretores. Para vetores \mathbf{u} e \mathbf{v},