Uma das circunferências que passa pelo ponto
e tangencia as retas
:
e
:
tem sua equação dada por:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado dá uma circunferência que:
- Passa pelo ponto
. - Tangencia as retas
e .
O que se pede: escolher, entre as alternativas fornecidas, a equação de uma das circunferências que satisfazem essas condições.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Ponto dado:
. - Retas dadas:
e . - A circunferência é tangente a ambas as retas e passa por
.
Passo 2
Princípio geométrico que vamos usar (explicado passo a passo):
-
Se uma circunferência com centro em
e raio é tangente a uma reta dada por , então a distância do centro à reta é igual ao raio.
A fórmula da distância de um pontoà reta é Essa fórmula vem da projeção ortogonal do vetor do ponto à reta; ela dá o comprimento do segmento perpendicular do ponto até a reta. -
Aplicando isso às duas retas, a distância do centro às duas retas é a mesma (ambas igual a
), portanto o centro é equidistante das duas retas. Geometricamente, isso significa que o centro está sobre um bissetor angular das duas retas (pode ser o bissetor interno ou o externo). Algebricamente vem da igualdade das duas distâncias.
Passo 3
Colocar incógnitas e escrever as equações:
-
Seja o centro da circunferência
e o raio . -
Para a reta
temos . A distância do centro a é Essa distância deve ser igual a. -
Para a reta
temos . A distância do centro a é Essa distância também deve ser igual a. -
Igualando as duas distâncias (ambas iguais a
) obtemos e portanto, simplificando,
Passo 4
Resolver a igualdade de valores absolutos. A equação
dá duas possibilidades:
ou
. Aplicando aqui:
-
Caso
. -
Caso
.
Vamos tratar cada caso separadamente.
Passo 5
Caso 1:
.
-
Simplificando essa igualdade:Então o centro tem forma
. -
A partir da condição de tangência, o raio vale
-
Como a circunferência passa por
, a distância do centro até é . Assim Substituindoao quadrado: -
Resolver essa equação: multiplicando por
, Passando tudo para um lado:Essa é, então . -
Portanto temos
. -
O raio éLogo
. -
A equação da circunferência nesse caso é
Passo 6
Caso 2:
.
-
Simplificando:Então o centro tem forma
. -
O raio vale
-
Usando que o ponto
está na circunferência: -
Multiplicando por
: Rearranjando:Ou seja, então . -
Portanto
. -
O raio éentão
. -
A equação da circunferência nesse caso é
Passo 7
Resumo das soluções encontradas:
- Do caso 1: circunferência
. - Do caso 2: circunferência
.
Ambas passam por
e são tangentes às retas dadas (são as duas possibilidades geométricas: centros nos dois bissetores). Agora comparar com as alternativas dadas. A alternativa que coincide com uma das equações encontradas é a alternativa (B):