Uma das circunferências que passa pelo ponto P(0,0) e tangencia as retas \left(r_{1}\right) : x-y=0 e \left(r_{2}\right) : x+y-2=0 tem sua equação dada por:
(A) (x-1)^{2}+(y+1)^{2}=\sqrt{2}
(B) (x-1)^{2}+(y+1)^{2}=2
(C) (x-1)^{2}+(y-1)^{2}=2
(D) (x+1)^{2}+(y-1)^{2}=\sqrt{2}
(E) (x+1)^{2}+(y+1)^{2}=2

Passo 1

O enunciado dá uma circunferência que:
  • Passa pelo ponto P(0,0).
  • Tangencia as retas (r_{1})\colon x-y=0 e (r_{2})\colon x+y-2=0.
O que se pede: escolher, entre as alternativas fornecidas, a equação de uma das circunferências que satisfazem essas condições.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Ponto dado: \,P(0,0).
  • Retas dadas: \,r_{1}\colon x-y=0 e \,r_{2}\colon x+y-2=0.
  • A circunferência é tangente a ambas as retas e passa por P.

Passo 2

Princípio geométrico que vamos usar (explicado passo a passo):
  • Se uma circunferência com centro em (h,k) e raio r é tangente a uma reta dada por Ax+By+C=0, então a distância do centro à reta é igual ao raio.
    A fórmula da distância de um ponto (h,k) à reta Ax+By+C=0 é
    \frac{|Ah+Bk+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}.
    Essa fórmula vem da projeção ortogonal do vetor do ponto à reta; ela dá o comprimento do segmento perpendicular do ponto até a reta.
  • Aplicando isso às duas retas, a distância do centro às duas retas é a mesma (ambas igual a r), portanto o centro é equidistante das duas retas. Geometricamente, isso significa que o centro está sobre um bissetor angular das duas retas (pode ser o bissetor interno ou o externo). Algebricamente vem da igualdade das duas distâncias.

Passo 3

Colocar incógnitas e escrever as equações:
  • Seja o centro da circunferência (h,k) e o raio r.
  • Para a reta r_{1}\colon x-y=0 temos A=1,B=-1,C=0. A distância do centro a r_{1} é
    \frac{|h-k|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}=\frac{|h-k|}{\sqrt{2}}.
    Essa distância deve ser igual a r.
  • Para a reta r_{2}\colon x+y-2=0 temos A=1,B=1,C=-2. A distância do centro a r_{2} é
    \frac{|h+k-2|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}=\frac{|h+k-2|}{\sqrt{2}}.
    Essa distância também deve ser igual a r.
  • Igualando as duas distâncias (ambas iguais a r) obtemos
    \frac{|h-k|}{\sqrt{2}}=\frac{|h+k-2|}{\sqrt{2}}
    e portanto, simplificando,
    |h-k|=|h+k-2|.

Passo 4

Resolver a igualdade de valores absolutos. A equação |A|=|B| dá duas possibilidades: A=B ou A=-B. Aplicando aqui:
  1. Caso h-k = h+k-2.
  2. Caso h-k = -(h+k-2).
Vamos tratar cada caso separadamente.

Passo 5

Caso 1: h-k = h+k-2.
  • Simplificando essa igualdade:
    h-k = h+k-2 \quad\Rightarrow\quad -k = k-2 \quad\Rightarrow\quad 2k=2 \quad\Rightarrow\quad k=1.
    Então o centro tem forma (h,1).
  • A partir da condição de tangência, o raio vale
    r=\frac{|h-k|}{\sqrt{2}}=\frac{|h-1|}{\sqrt{2}}.
  • Como a circunferência passa por P(0,0), a distância do centro até P é r. Assim
    h^{2}+1^{2}=r^{2}.
    Substituindo r ao quadrado:
    h^{2}+1=\left(\frac{h-1}{\sqrt{2}}\right)^{2}=\frac{(h-1)^{2}}{2}.
  • Resolver essa equação: multiplicando por 2,
    2h^{2}+2=(h-1)^{2}=h^{2}-2h+1.
    Passando tudo para um lado:
    2h^{2}+2-(h^{2}-2h+1)=0 \quad\Rightarrow\quad h^{2}+2h+1=0.
    Essa é (h+1)^{2}=0, então h=-1.
  • Portanto temos (h,k)=(-1,1).
  • O raio é
    r=\frac{|h-1|}{\sqrt{2}}=\frac{|-1-1|}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}.
    Logo r^{2}=2.
  • A equação da circunferência nesse caso é
    (x+1)^{2}+(y-1)^{2}=2.

Passo 6

Caso 2: h-k = -(h+k-2).
  • Simplificando:
    h-k = -h -k +2 \quad\Rightarrow\quad 2h=2 \quad\Rightarrow\quad h=1.
    Então o centro tem forma (1,k).
  • O raio vale
    r=\frac{|h-k|}{\sqrt{2}}=\frac{|1-k|}{\sqrt{2}}.
  • Usando que o ponto (0,0) está na circunferência:
    1^{2}+k^{2}=r^{2}=\left(\frac{1-k}{\sqrt{2}}\right)^{2}=\frac{(1-k)^{2}}{2}.
  • Multiplicando por 2:
    2+2k^{2}=(1-k)^{2}=1-2k+k^{2}.
    Rearranjando:
    2+2k^{2}- (1-2k+k^{2})=0 \quad\Rightarrow\quad k^{2}+2k+1=0.
    Ou seja (k+1)^{2}=0, então k=-1.
  • Portanto (h,k)=(1,-1).
  • O raio é
    r=\frac{|1-(-1)|}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2},
    então r^{2}=2.
  • A equação da circunferência nesse caso é
    (x-1)^{2}+(y+1)^{2}=2.

Passo 7

Resumo das soluções encontradas:
  • Do caso 1: circunferência \,(x+1)^{2}+(y-1)^{2}=2.
  • Do caso 2: circunferência \,(x-1)^{2}+(y+1)^{2}=2.
Ambas passam por P(0,0) e são tangentes às retas dadas (são as duas possibilidades geométricas: centros nos dois bissetores). Agora comparar com as alternativas dadas. A alternativa que coincide com uma das equações encontradas é a alternativa (B):
(x-1)^{2}+(y+1)^{2}=2.

Resposta

(B)\\ \\ (x-1)^{2}+(y+1)^{2}=2

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