Dois pontos distintos, E e F, estão no plano. O lugar geométrico dos pontos médios dos lados BC de todos os triângulos ABC do plano tais que \mathrm{B} \hat{\mathrm{A}} \mathrm{C}=60^{\circ} e E e F são os pés das alturas de B e C , respectivamente, é(são)
(A) um ponto.
(B) dois pontos.
(C) dois segmentos de reta.
(D) dois arcos de circunferência.
(E) uma hipérbole.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a localização geométrica procurada.
Dois pontos fixos e distintos no plano: E e F.
Considere todos os triângulos ABC tais que:
\widehat{B A C}=60^\circ.
E é o pé da altura de B sobre AC (ou seja, E\in AC e BE\perp AC).
F é o pé da altura de C sobre AB (ou seja, F\in AB e CF\perp AB).
Para cada triângulo desses consideramos o ponto médio M do lado BC.
Pergunta: qual é o lugar geométrico de todos esses pontos médios M?
Informações relevantes extraídas do enunciado (resumindo):
E e F são dados fixos.
A condição \widehat{B A C}=60^\circ impõe uma condição sobre a posição de A relativa a E e F (pois A está em interseção das retas que passam por E e por F com os vértices).
Para cada A admissível (que satisfaça o ângulo 60^\circ), os pontos B e C são determinados geometricamente pelas condições de perpendicularidade com os pés E e F.
Objetivo final: descrever o lugar geométrico de M (pode ser ponto, reta, curva, etc.).
Passo 2
Identificar o lugar geométrico dos possíveis pontos A.
Para um triângulo ABC válido temos E\in AC e F\in AB. Assim a reta AE é a reta AC e a reta AF é a reta AB.
A condição \widehat{B A C}=60^\circ é exatamente a condição \widehat E A F =60^\circ (o ângulo entre as retas AE e AF é 60^\circ).
Portanto o ponto A deve ser um ponto do plano que vê o segmento EF sob um ângulo de 60^\circ.
Teorema do ângulo inscrito: O conjunto de pontos que vêem um segmento EF sob um ângulo fixo \alpha é formado por duas partes de circunferência (duas arcos simétricos), correspondendo às duas posições de seno do ângulo (um arco acima da reta EF e outro abaixo).
Conclusão: os pontos A possíveis formam duas circunferências (mais precisamente, os dois arcos simétricos) que têm EF como corda e fazem com essa corda um ângulo inscrito de 60^\circ.
O raio dessas circunferências pode ser calculado: se |EF|=d, então a relação entre corda d e o raio R para ângulo inscrito \alpha=60^\circ éd = 2R\sin 60^\circ = 2R\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=R\sqrt{3},logoR=\frac{d}{\sqrt{3}}.
Os centros dessas duas circunferências estão no eixo perpendicular ao segmento EF passando pelo ponto médio O de EF, a uma distância h de O dada porh=\sqrt{R^{2}-\left(\frac{d}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{d^{2}}{3}-\frac{d^{2}}{4}}=\frac{d}{2\sqrt{3}}.
Passo 3
Escolher um sistema de coordenadas conveniente e escrever fórmulas para B, C e o ponto médio M em função de A.
Coloque o ponto médio O de EF na origem do sistema e alinhe EF no eixo x. AssimE=\left(-\frac{d}{2},0\right),\qquad F=\left(\frac{d}{2},0\right).
Para um A=(x,y) (vetor \mathbf{a}) qualquer, defina os vetores\mathbf{u}= \overrightarrow{AF}=\mathbf{f}-\mathbf{a},\qquad \mathbf{v}= \overrightarrow{AE}=\mathbf{e}-\mathbf{a},onde \mathbf{e},\mathbf{f} são os vetores de E e F.
Condição para B: B pertence à reta AF (ou seja, B=A+t\mathbf{u} para algum t) e a reta BE é perpendicular a AC, isto é, (B-E)\cdot (E-A)=0. Substituindo B=A+t\mathbf{u} obtemos-\lVert \mathbf{v}\rVert^{2}+t\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{\lVert\mathbf{v}\rVert^{2}}{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}.LogoB=A+\frac{\lVert\mathbf{v}\rVert^{2}}{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}\,\mathbf{u}.
Similarmente, para C (que pertence à reta AE e satisfaz (C-F)\cdot(F-A)=0), se C=A+s\mathbf{v} entãos=\frac{\lVert\mathbf{u}\rVert^{2}}{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}, \qquad C=A+\frac{\lVert\mathbf{u}\rVert^{2}}{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}\,\mathbf{v}.
O ponto médio M de BC éM=\frac{B+C}{2} =A+\frac{1}{2(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})}\big(\lVert\mathbf{v}\rVert^{2}\mathbf{u}+\lVert\mathbf{u}\rVert^{2}\mathbf{v}\big).Esta expressão nos dá M em função de A (isto é, de \mathbf{a}).
Passo 4
Explorar a simetria do problema (posição de E e F simétricas em relação ao ponto médio O) e simplificar a expressão de M.
Como colocámos O na origem e E=(-\tfrac{d}{2},0), F=(\tfrac{d}{2},0), tem-se \mathbf{e}=-\mathbf{f}.
Calcule a componente x de M explicitamente a partir da fórmula anterior. Usando a simetria \mathbf{e}=-\mathbf{f} e desenvolvendo, obtém-se (após simplificações algébricas)M_x = 0.Isto significa que para qualquer posição admissível de A (desde que as quantidades envolvidas não degenerem), o ponto médio M está sempre sobre a mediatriz perpendicular de EF que passa por O — ou seja, sobre o eixo vertical que colocou-mos (o eixo y neste sistema).
Assim o lugar geométrico de M fica restrito à reta perpendicular ao segmento EF que passa por O.
Passo 5
Usar agora que A está sobre uma das duas circunferências que subtendem o segmento EF com ângulo inscrito 60^\circ, para obter a coordenada y de M.
Tome a circunferência superior (aquela cujo centro está em (0,h) com h=\dfrac{d}{2\sqrt{3}} e raio R=\dfrac{d}{\sqrt{3}}). Para qualquer A=(x,y) sobre essa circunferência vale a equaçãox^{2}+(y-h)^{2}=R^{2}.Desenvolvendo e isolando \lVert\mathbf{a}\rVert^{2}=x^{2}+y^{2} obtém-se\lVert\mathbf{a}\rVert^{2}=\frac{d^{2}}{4}+2yh.
Recordando que \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\lVert\mathbf{a}\rVert^{2}-\dfrac{d^{2}}{4} (isto resulta do cálculo direto com \mathbf{e} e \mathbf{f} simétricos), segue que, para A em cima,\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=2yh.
Substituindo na expressão já simplificada para a coordenada y de M encontra-se (após cancelamentos)M_y = -\frac{d\sqrt{3}}{2}.Observe que este valor é independente do ponto A escolhido na circunferência superior: ou seja, para qualquer A do arco superior admissível o ponto médio M é sempre o mesmo ponto com coordenadasM=\Big(0,\; -\frac{d\sqrt{3}}{2}\Big).
Passo 6
Fazer o análogo para a circunferência inferior e concluir o lugar geométrico.
Para A na circunferência inferior o cálculo é idêntico, apenas com h negativo; seguindo as mesmas fórmulas obtém-seM_y = +\frac{d\sqrt{3}}{2}.Logo para qualquer A do arco inferior M é o ponto fixoM=\Big(0,\; +\frac{d\sqrt{3}}{2}\Big).
Portanto, ao variar A por todas as posições que satisfazem \widehat E A F=60^\circ, os pontos médios M de BC só podem assumir dois pontos fixos distintos — um associado ao arco superior e outro ao arco inferior.
Passo 7
Interpretação geométrica final e verificação rápida.
Em termos geométricos: os dois pontos médios são simétricos em relação ao ponto médio O de EF e estão sobre a mediatriz de EF, a uma distância \dfrac{d\sqrt{3}}{2} de O (para |EF|=d).
Teste particular (checagem): quando A é o ponto mais alto do arco superior obtém-se explicitamente B e C simétricos e o ponto médio calculado coincide com o ponto fixo que achamos; para outros A o cálculo algébrico mostrou que o valor de M não muda. Portanto os dois pontos cobrem todos os casos possíveis.