Utilize a quadratura de Gauss-Legendre com 3 pontos para aproximar \int_{0}^{1} \frac{e^{-x^{2}}}{1+x^{2}} d x. Qual é o valor obtido?
Escolha uma opção:
◯ a. 0.6715
◯ b. 0.6232
◯ c. 0.6185
◯ d. 0.6100
◯ e. 0.6188

Passo 1

O enunciado pede aproximar a integral
\int_{0}^{1}\frac{e^{-x^{2}}}{1+x^{2}}\,dx
usando a quadratura de Gauss-Legendre com 3 pontos. Informações relevantes fornecidas:
  • Intervalo de integração: \,0\le x\le1.
  • Função a integrar: \displaystyle f(x)=\frac{e^{-x^{2}}}{1+x^{2}}.
  • Método: Gauss-Legendre de 3 pontos (usar exatamente 3 nós e pesos correspondentes).

Passo 2

Fórmula de Gauss-Legendre para n=3 numa transformação do intervalo [a,b] para [-1,1]:
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\sum_{i=1}^{3} w_i\, f\!\left(\frac{b-a}{2}t_i+\frac{b+a}{2}\right),
onde t_i são os nós em [-1,1] e w_i os pesos. Para n=3 temos os valores padrão:
t_1=0,\qquad t_{2,3}=\pm\sqrt{\frac{3}{5}},
w_1=\frac{8}{9},\qquad w_{2}=w_{3}=\frac{5}{9}.
Aqui a=0 e b=1, logo a transformação é
x=\frac{b-a}{2}t+\frac{b+a}{2}=\frac{1}{2}t+\frac{1}{2},
e o fator fora da soma é \frac{b-a}{2}=\frac{1}{2}.

Passo 3

Calcular os pontos de avaliação x_i em [0,1]:
x_1=\frac{1}{2}\cdot 0+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}=0{,}5.
x_2=\frac{1}{2}\left(\sqrt{\frac{3}{5}}\right)+\frac{1}{2} =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{5}}\approx 0{,}8872983346207417.
x_3=\frac{1}{2}\left(-\sqrt{\frac{3}{5}}\right)+\frac{1}{2} =\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{5}}\approx 0{,}1127016653792583.

Passo 4

Avaliar f(x)=\dfrac{e^{-x^{2}}}{1+x^{2}} em cada x_i, passo a passo.
Para x_1=0{,}5:
x_1^{2}=0{,}25, \qquad e^{-x_1^{2}}=e^{-0{,}25}\approx 0{,}7788007830714049,
1+x_1^{2}=1{,}25, \qquad f(x_1)=\frac{0{,}7788007830714049}{1{,}25}\approx 0{,}6230406264571239.
Para x_2\approx 0{,}8872983346207417:
x_2^{2}\approx 0{,}787298391218\!, \qquad e^{-x_2^{2}}\approx e^{-0{,}787298391218}\approx 0{,}455069771\!,
1+x_2^{2}\approx 1{,}787298391218, \qquad f(x_2)=\frac{e^{-x_2^{2}}}{1+x_2^{2}}\approx\frac{0{,}455069771}{1{,}787298391218}\approx 0{,}254613205.
Para x_3\approx 0{,}1127016653792583:
x_3^{2}\approx 0{,}0127016653792583, \qquad e^{-x_3^{2}}\approx e^{-0{,}0127016653792583}\approx 0{,}987378654,
1+x_3^{2}\approx 1{,}0127016653792583, \qquad f(x_3)=\frac{e^{-x_3^{2}}}{1+x_3^{2}}\approx\frac{0{,}987378654}{1{,}0127016653792583}\approx 0{,}9749946.
(Obs.: arredondei as avaliações intermédias mantendo precisão suficiente para a soma final.)

Passo 5

Aplicar a fórmula da quadratura com os pesos e o fator \dfrac{b-a}{2}=\dfrac{1}{2}.
Os termos ponderados são:
\frac{5}{9}\,f(x_3)\approx \frac{5}{9}\cdot 0{,}9749946\approx 0{,}5416636666666667,
\frac{8}{9}\,f(x_1)\approx \frac{8}{9}\cdot 0{,}6230406264571239\approx 0{,}5538138901841101,
\frac{5}{9}\,f(x_2)\approx \frac{5}{9}\cdot 0{,}254613205\approx 0{,}14145178055555556.
Somando os termos dentro da soma:
S\approx 0{,}5416636666666667+0{,}5538138901841101+0{,}14145178055555556\approx 1{,}2369293374063323.
Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{2}:
\int_{0}^{1}\frac{e^{-x^{2}}}{1+x^{2}}\,dx \approx \frac{1}{2}\,S \approx \frac{1}{2}\cdot 1{,}2369293374063323 \approx 0{,}6184646687031662.
Arredondando para quatro casas decimais, obtemos 0{,}6185.

Passo 6

Comparando com as opções dadas, o valor mais próximo é a opção (c) 0{,}6185.

Resposta

c. 0,6185

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