Seja
. Se
, prove que
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para todo inteiro
não nulo, vale
O conteúdo envolve as propriedades de ordem dos inteiros (princípio da tricotomia) e a definição de valor absoluto.
Passo 2
Pela tricotomia dos inteiros, para qualquer
exatamente uma das alternativas acontece:
-
, -
, -
.
Como estamos no caso, sobram as duas situações: ou .
Passo 3
Suponha
.
Pela definição de valor absoluto, temos .
Como é um inteiro positivo, o menor valor que pode assumir é
. Logo
Pela definição de valor absoluto, temos
Como
Passo 4
Suponha
.
Então e pela definição
.
Como é um inteiro negativo, o maior valor negativo (em módulo mínimo) é
, ou seja
. Assim
Então
Como
Passo 5
Em ambas as situações (
ou
) chegamos a
. Portanto, sempre que
, vale
Resposta
Ficou demonstrado que, para todo
com
, tem-se
.