Seja a in Z. Se a neq 0, prove que 1 <=|a|.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para todo inteiro a não nulo, vale
1 <= |a|
O conteúdo envolve as propriedades de ordem dos inteiros (princípio da tricotomia) e a definição de valor absoluto.

Passo 2

Pela tricotomia dos inteiros, para qualquer ainZ exatamente uma das alternativas acontece:
  1. a>0,
  2. a=0,
  3. a<0.
    Como estamos no caso aneq0, sobram as duas situações: a>0 ou a<0.

Passo 3

Suponha a>0.
Pela definição de valor absoluto, temos |a|=a.
Como a é um inteiro positivo, o menor valor que pode assumir é 1. Logo
|a| = a >= 1

Passo 4

Suponha a<0.
Então -a>0 e pela definição |a|=-a.
Como a é um inteiro negativo, o maior valor negativo (em módulo mínimo) é -1, ou seja a<= -1. Assim
|a| = -a >= 1

Passo 5

Em ambas as situações ( a>0 ou a<0) chegamos a |a|>=1. Portanto, sempre que aneq0, vale
1 <= |a|

Resposta

Ficou demonstrado que, para todo ainZ com aneq0, tem-se 1<=|a|.

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