Sejam
não-vazio e
. Se
satisfazem (E1) e (E2), prove que
.
Passo 1
O enunciado trata da unicidade do “mínimo” de um conjunto não vazio
. Dizemos que
é mínimo de
se satisfaz duas propriedades:
(E1)
(E2) para todo , se
então
.
Aqui temos dois candidatos e
que ambos satisfazem (E1) e (E2). O objetivo é provar que necessariamente
.
(E1)
(E2) para todo
Aqui temos dois candidatos
Passo 2
Usamos que
satisfaz (E1), ou seja
Como
satisfaz (E2), qualquer
que seja menor ou igual a todos os
deve satisfazer
. Tomando
, concluímos
Passo 3
De modo análogo,
satisfaz (E1), logo
e então pelo (E2) de
(com
) obtemos
Passo 4
Das desigualdades
e usando a antissimetria da ordem em
, concluímos