Sejam A subset Z não-vazio e a1, a2 in Z. Se a1, a2 satisfazem (E1) e (E2), prove que a1=a2.

Passo 1

O enunciado trata da unicidade do “mínimo” de um conjunto não vazio AsubsetZ. Dizemos que ainZ é mínimo de A se satisfaz duas propriedades:
(E1) forall xin A,;a<= x
(E2) para todo yinZ, se forall xin A,;y<= x então y<= a.
Aqui temos dois candidatos a1 e a2 que ambos satisfazem (E1) e (E2). O objetivo é provar que necessariamente a1=a2.

Passo 2

Usamos que a2 satisfaz (E1), ou seja
forall xin A,;a2<= x
Como a1 satisfaz (E2), qualquer y que seja menor ou igual a todos os xin A deve satisfazer y<= a1. Tomando y=a2, concluímos
a2<= a1

Passo 3

De modo análogo, a1 satisfaz (E1), logo
forall xin A,;a1<= x,
e então pelo (E2) de a2 (com y=a1) obtemos
a1<= a2

Passo 4

Das desigualdades
a2<= a1 e a1<= a2
e usando a antissimetria da ordem em Z, concluímos
a1 = a2

Resposta

a1 = a2

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