Suponha um sistema físico que se encontra no estado
|\psi(t=0)\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\left|u_{1}\right\rangle+\frac{1}{2}\left|u_{2}\right\rangle+\frac{1}{2}\left|u_{3}\right\rangle
Um hamiltoniano para esse sistema é: \hat{H}=\hbar \omega_{0}\left(\left|u_{1}\right\rangle\left\langle u_{1}\right|+2\left|u_{2}\right\rangle\left\langle u_{2}\right|+2\left|u_{3}\right\rangle\left\langle u_{3}\right|\right)
(Dica 1: note que: \hat{H}\left|u_{i}\right\rangle=E_{i}\left|u_{i}\right\rangle; dica 2: os estados \left|u_{i}\right\rangle são equivalentes às funções ortonormais \psi_{n}(x).)
a) Encontre os valores possíveis para a energia.
b) Determine a probabilidade de se obter cada um desses valores em uma medida da energia.
c) Encontre o valor esperado para a energia.
d) Encontre a evolução temporal do estado, |\psi(t)\rangle, ou seja, aplique o operador evolução temporal ao “ket” |\psi(t=0)\rangle.

Passo 1

O enunciado dá um estado inicial
|\psi(0)\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}|u_{1}\rangle+\frac{1}{2}|u_{2}\rangle+\frac{1}{2}|u_{3}\rangle
e um Hamiltoniano diagonal na base \{|u_i\rangle\}:
\hat H=\hbar\omega_0\bigl(|u_1\rangle\langle u_1|+2|u_2\rangle\langle u_2|+2|u_3\rangle\langle u_3|\bigr).
O conteúdo envolvido é valores próprios de energia, probabilidades em medidas, valor esperado e evolução temporal em mecânica quântica.

Passo 2

Para cada autostado vale
\hat H|u_i\rangle = E_i|u_i\rangle,
logo
E_1=\hbar\omega_0,\quad E_2=2\hbar\omega_0,\quad E_3=2\hbar\omega_0.
Note que E_2 e E_3 são degenerados.

Passo 3

Os coeficientes do estado inicial são c_1=1/\sqrt2, c_2=1/2, c_3=1/2. As probabilidades de obter E_i são
P_i=|c_i|^2,
ou seja
P_1=\tfrac12,\quad P_2=\tfrac14,\quad P_3=\tfrac14.
Em particular a probabilidade de medir 2\hbar\omega_0 vale P_2+P_3=\tfrac12.

Passo 4

O valor esperado de energia é
\langle E\rangle =\sum_{i=1}^3 P_i\,E_i =\tfrac12(\hbar\omega_0)+\tfrac14(2\hbar\omega_0)+\tfrac14(2\hbar\omega_0) =\hbar\omega_0.

Passo 5

A evolução temporal de cada autovetor é e^{-iE_i t/\hbar}|u_i\rangle. Logo
|\psi(t)\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-i\omega_0 t}|u_1\rangle +\frac{1}{2}e^{-i2\omega_0 t}|u_2\rangle +\frac{1}{2}e^{-i2\omega_0 t}|u_3\rangle.

Resposta

a) Os valores possíveis são \;E_1=\hbar\omega_0,\;E_2=E_3=2\hbar\omega_0. b) As probabilidades são \;P(E_1)=\tfrac12,\;P(E_2)=\tfrac14,\;P(E_3)=\tfrac14
(e P(E=2\hbar\omega_0)=\tfrac12 somando P_2+P_3).
c) O valor esperado é \;\langle E\rangle=\hbar\omega_0. d) A evolução temporal é
|\psi(t)\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-i\omega_0 t}|u_1\rangle +\frac{1}{2}e^{-i2\omega_0 t}|u_2\rangle +\frac{1}{2}e^{-i2\omega_0 t}|u_3\rangle.

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