Suponha um sistema físico que se encontra no estado
Um hamiltoniano para esse sistema é:
(Dica 1: note que:
; dica 2: os estados
são equivalentes às funções ortonormais
.)
a) Encontre os valores possíveis para a energia.
b) Determine a probabilidade de se obter cada um desses valores em uma medida da energia.
c) Encontre o valor esperado para a energia.
d) Encontre a evolução temporal do estado,
, ou seja, aplique o operador evolução temporal ao “ket”
.
(Dica 1: note que:
a) Encontre os valores possíveis para a energia.
b) Determine a probabilidade de se obter cada um desses valores em uma medida da energia.
c) Encontre o valor esperado para a energia.
d) Encontre a evolução temporal do estado,
Passo 1
O enunciado dá um estado inicial
e um Hamiltoniano diagonal na base
:
O conteúdo envolvido é valores próprios de energia, probabilidades em medidas, valor esperado e evolução temporal em mecânica quântica.
Passo 2
Para cada autostado vale
logo
Note que
e
são degenerados.
Passo 3
Os coeficientes do estado inicial são
,
,
. As probabilidades de obter
são
ou seja
Em particular a probabilidade de medir
vale
.
Passo 4
O valor esperado de energia é
Passo 5
A evolução temporal de cada autovetor é
. Logo
Resposta
a) Os valores possíveis são
b) As probabilidades são
(e somando
).
(e
c) O valor esperado é
d) A evolução temporal é