Suponhamos que os operadores \hat{A} e \hat{B} “quase” possuem uma base própria comum (menos para os estados tais que n=1 e 2 ), ou seja, quando desenvolvemos os vetores próprios de \hat{B} em função dos de \hat{A}, tem-se
\begin{gathered} \left|\beta_{1}\right\rangle=\frac{\sqrt{3}}{2}\left|\alpha_{1}\right\rangle+\frac{1}{2}\left|\alpha_{2}\right\rangle \\\ \left|\beta_{2}\right\rangle=\frac{1}{2}\left|\alpha_{1}\right\rangle-\frac{\sqrt{3}}{2}\left|\alpha_{2}\right\rangle \\\ \left|\beta_{n}\right\rangle=\left|\alpha_{n}\right\rangle, n \geqslant 3 \end{gathered}
a) Provar que se \left\langle\alpha_{i} \mid \alpha_{j}\right\rangle=\delta_{i j}, então \left\langle\beta_{i} \mid \beta_{j}\right\rangle=\delta_{i j}.
b) Escreva os autovetores de  em função dos de \hat{B}.
c) Prove que se se faz uma medida do observável A, M(A), obtendo A_{n}, \operatorname{com} n>=3, então a medida M^{\prime}(A) dará o mesmo resultado, ou seja, terá probabilidade igual a 1.
d) Mostre que se M(\mathrm{~A}) dá o valor A_{1}, então a probabilidade de se obter B_{1}, P\left(B_{1}\right), é 3 / 4 e B_{2}, P\left(B_{2}\right), é 1/4. (Dica: use os resultados do item b)).
Passo 1
O enunciado trata de dois observáveis \hat A e \hat B cujas bases de autovetores quase coincidem, exceto nos subespaços n=1,2. Temos a relação entre as bases
com \langle\alpha_i\mid\alpha_j\rangle=\delta_{ij}. Vamos (a) mostrar que \{\lvert\beta_i\rangle\} é ortonormal, (b) inverter as relações para expressar \lvert\alpha_i\rangle em função de \lvert\beta_j\rangle, (c) usar isso para provar que, se medirmos A e obtivermos A_n com n\ge3, um segundo aparato que meça A após um aparato que mediu B devolve o mesmo resultado com probabilidade 1, e (d) calcular P(B_1) e P(B_2) quando o estado está em \lvert\alpha_1\rangle.
Passo 2
(a) Para i,j\in\{1,2\}, calculamos
\langle\beta_i\mid\beta_j\rangle
usando a expansão em \{\lvert\alpha_k\rangle\}. Por exemplo,
De modo análogo mostra-se \langle\beta_2\mid\beta_2\rangle=1 e \langle\beta_1\mid\beta_2\rangle=0. Para n\ge3, \lvert\beta_n\rangle=\lvert\alpha_n\rangle, logo \langle\beta_n\mid\beta_m\rangle=\delta_{nm}. Concluímos \langle\beta_i\mid\beta_j\rangle=\delta_{ij}.
Passo 3
(b) A matriz de mudança de base entre \{\alpha_1,\alpha_2\} e \{\beta_1,\beta_2\} é ortogonal, então o inverso é a transposta. Assim
(c) Suponha que medindo A com M(A) o sistema colapse em \lvert\alpha_n\rangle com n\ge3. Como \lvert\alpha_n\rangle=\lvert\beta_n\rangle, se em seguida medirmos B o estado permanece \lvert\beta_n\rangle. Finalmente, ao medir A de novo, o sistema está em \lvert\alpha_n\rangle, de modo que recuperamos A_n com probabilidade
(a) \langle\beta_i\mid\beta_j\rangle=\delta_{ij}.
(b) \displaystyle \lvert\alpha_1\rangle=\tfrac{\sqrt3}{2}\lvert\beta_1\rangle+\tfrac12\lvert\beta_2\rangle, \displaystyle \lvert\alpha_2\rangle=\tfrac12\lvert\beta_1\rangle-\tfrac{\sqrt3}{2}\lvert\beta_2\rangle, \lvert\alpha_n\rangle=\lvert\beta_n\rangle para n\ge3.
(c) A probabilidade de reaparecer A_n com n\ge3 é 1.
(d) P(B_1)=3/4,\;P(B_2)=1/4.